Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XII, задание 1148

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$ , $\angle AOB = \varphi$ . Доказать: $S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AC \cdot BD\sin\varphi$ .

У выпуклого четырёхугольника диагонали пересекаются, и точка $$O$$ лежит на каждой из них. Диагонали делят четырёхугольник на треугольники $$AOB$$ , $$BOC$$ , $$COD$$ , $$DOA$$ .
Углы при точке $$O$$ равны $\varphi$ (два вертикальных) и $180^\circ - \varphi$ (два других), а $\sin(180^\circ - \varphi) = \sin\varphi$ .
По теореме о площади треугольника: $S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}\sin\varphi\,(AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO)$ .
Сгруппируем: $AO \cdot BO + BO \cdot CO = BO \cdot AC$ , $CO \cdot DO + DO \cdot AO = DO \cdot AC$ . Сумма равна $AC(BO + DO) = AC \cdot BD$ .
Значит, $S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AC \cdot BD\sin\varphi$ .

Ответ

Утверждение доказано: S = ½·d₁·d₂·sin φ

Почему так

Диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника с общей вершиной; синусы всех углов при ней равны, поэтому площади складываются в половину произведения диагоналей на синус.

Подробнее — в теме «Теорема о площади треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).