Как изменится площадь треугольника, если каждую из двух сторон увеличить в 3 раза, а угол между ними не менять?

Увеличится в 9 раз

Увеличится в 3 раза

Увеличится в 6 раз

Теорема о площади треугольника

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Коротко о главном

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Формула работает при любом угле — остром, прямом и тупом.

S = \frac12 ab \sin C

Подробное объяснение

Представьте, что у вас две доски длиной 2 м и 1,5 м, скреплённые петлёй, и вы натягиваете между их концами верёвку. Получается треугольник. Если доски почти сложены, он узкий и площадь маленькая. Если развести их под прямым углом — площадь самая большая. Если раскрыть дальше, почти в прямую линию, — снова маленькая. Значит, площадь зависит не только от длин сторон, но и от угла между ними. Теорема говорит, как именно.

Теорема

Пусть в треугольнике $$ABC$$ стороны $$BC = a$$ и $$CA = b$$ , а угол между ними — $\angle C$ . Тогда

S = \frac12 ab \sin C.

Обратите внимание: угол $$C$$ лежит между сторонами $$a$$ и $$b$$ , то есть это угол, образованный ими в общей вершине $$C$$ .

Почему это верно

Мы знаем формулу площади $S = \dfrac12 ah$ , где $$h$$ — высота, проведённая к стороне $$a$$ . Остаётся выразить высоту через $$b$$ и угол $$C$$ .

Опустим из вершины $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на прямую $$BC$$ . Если угол $$C$$ острый, в прямоугольном треугольнике $$AHC$$ катет $$AH$$ лежит против угла $$C$$ , поэтому $h = b \sin C$ . Если угол $$C$$ тупой, основание высоты попадает на продолжение стороны, а в прямоугольном треугольнике $$AHC$$ острый угол при $$C$$ равен $180^\circ - C$ ; тогда $h = b \sin(180^\circ - C) = b \sin C$ . При прямом угле $$h = b$$ , а $\sin 90^\circ = 1$ — тоже сходится.

В учебнике то же доказано через координаты: вершину $$C$$ ставят в начало координат, точку $$B$$ — на ось $$Ox$$ , и тогда высота равна ординате точки $$A$$ , то есть $b \sin C$ .

Подставляем высоту в $S = \dfrac12 ah$ и получаем $S = \dfrac12 ab \sin C$ .

Два треугольника ABC с высотой AH к стороне BC = a. Слева угол C острый, справа тупой и H лежит на продолжении CB. В обоих случаях высота h = b · sin C. — При любом угле C высота h = b · sin C, поэтому S = ½ · a · h = ½ab · sin C.

Что важно помнить

Стороны — в одних единицах (см, м), площадь — в квадратных (см², м²).
Синус тупого угла положителен: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ . Поэтому треугольники со сторонами 4 и 5 и углами $30^\circ$ и $150^\circ$ между ними имеют одну и ту же площадь.
Для прямого угла формула превращается в знакомую «половину произведения катетов».
Формулу можно записать для любой пары сторон: $S = \dfrac12 bc \sin A = \dfrac12 ca \sin B$ .

Как решать задачи

Найдите две стороны и угол, который лежит между ними. Если дан другой угол, сначала найдите нужный (например, через сумму углов треугольника).
Подставьте в $S = \dfrac12 ab \sin C$ . Значения $\sin 30^\circ = \dfrac12$ , $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$ полезно знать наизусть; для тупого угла используйте $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ .
Если неизвестна сторона или угол, а площадь дана — выразите неизвестное из формулы. Угол по синусу находится с двумя вариантами: $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$ .
Проверьте единицы и разумность: площадь не может быть больше $\dfrac12 ab$ .

Разобранные примеры

База

Площадь по двум сторонам и углу

Условие

В треугольнике две стороны равны 12 см и 9 см, угол между ними $30^\circ$ . Найдите площадь.

Дано

$$a = 12$$ см
$$b = 9$$ см
$\angle C = 30^\circ$

Найти

$$S$$

Решение

$S = \dfrac12 ab \sin C = \dfrac12 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \dfrac12 = 27$ см².

Ответ: 27 см²

Средний

Тупой угол между сторонами

Условие

Стороны треугольника равны 6 см и 10 см, угол между ними $120^\circ$ . Найдите площадь.

Дано

$$a = 6$$ см
$$b = 10$$ см
$\angle C = 120^\circ$

Найти

$$S$$

Решение

Синус тупого угла: $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$ .

$S = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 15\sqrt3 \approx 26{,}0$ см².

Ответ: 15√3 ≈ 26,0 см²

Сложный

Площадь параллелограмма

Условие

Стороны параллелограмма равны 5 см и 8 см, а один из его углов $60^\circ$ . Найдите площадь параллелограмма.

Дано

параллелограмм $$ABCD$$
$$AB = 5$$ см
$$AD = 8$$ см
$\angle A = 60^\circ$

Найти

$$S$$

Решение

Диагональ $$BD$$ делит параллелограмм на два равных треугольника $$ABD$$ и $$CDB$$ (по трём сторонам). Площадь одного:

$S_{ABD} = \dfrac12 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3$ см².

Площадь параллелограмма вдвое больше: $S = 20\sqrt3 \approx 34{,}6$ см². Заодно получили полезную формулу: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними.

Ответ: 20√3 ≈ 34,6 см²

Типичные ошибки

Берут угол, который не лежит между данными сторонами

Почему неверно

В треугольнике $$ABC$$ даны $$AB = 7$$ , $$BC = 4$$ и $\angle A = 40^\circ$ . Ученик пишет $S = \dfrac12 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \sin 40^\circ$ . Но угол $$A$$ образован сторонами $$AB$$ и $$AC$$ , а не $$AB$$ и $$BC$$ . Формула верна только для угла, заключённого между взятыми сторонами.

Как правильно

Сначала найдите общую вершину двух данных сторон: у $$AB$$ и $$BC$$ это вершина $$B$$ . Нужен угол $$B$$ . Если он не дан, его ищут другими способами (например, по сумме углов, когда известны два других угла).

Забывают множитель ½

Почему неверно

Произведение $ab \sin C$ — это площадь параллелограмма, построенного на сторонах $$a$$ и $$b$$ . Треугольник — ровно его половина, поэтому без $\dfrac12$ ответ получается вдвое больше.

Как правильно

Пишите формулу целиком: $S = \dfrac12 ab \sin C$ . Полезная самопроверка: площадь треугольника не больше $\dfrac12 ab$ .

Считают, что для тупого угла площадь отрицательная или формула не работает

Почему неверно

Косинус тупого угла отрицателен, и это путают с синусом. Синус любого угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ (не включая концы) положителен, так что и площадь положительна.

Как правильно

Используйте $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ : $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac12$ , $\sin 135^\circ = \sin 45^\circ$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Две стороны треугольника равны 8 см и 5 см, а угол между ними равен $30^\circ$ . Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Подставьте стороны и угол между ними в формулу $S = \dfrac12 ab \sin C$ .

Решение

$S = \dfrac12 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = \dfrac12 \cdot 40 \cdot \dfrac12 = 10$ см².

Ответ

10 см²

База Задача 2

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.

Подсказка

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$ .

Решение

Возьмём две стороны по 6 см и угол $60^\circ$ между ними. $S = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = 18 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 9\sqrt3 \approx 15{,}6$ см².

Ответ

9√3 ≈ 15,6 см²

Средний Задача 3

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 10 см, а угол при вершине равен $120^\circ$ . Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Угол при вершине лежит как раз между боковыми сторонами; $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$ .

Решение

$S = \dfrac12 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 120^\circ = 50 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 25\sqrt3 \approx 43{,}3$ см², так как $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$ .

Ответ

25√3 ≈ 43,3 см²

Средний Задача 4

Площадь треугольника равна 12 см², две его стороны равны 6 см и 8 см. Найдите угол между этими сторонами.

Подсказка

Выразите $\sin C$ из формулы площади. Синус одного и того же значения бывает у острого и у тупого угла.

Решение

Из $S = \dfrac12 ab \sin C$ получаем $\sin C = \dfrac{2S}{ab} = \dfrac{24}{48} = \dfrac12$ . Синус равен $\dfrac12$ у угла $30^\circ$ и у угла $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ . Оба треугольника существуют, поэтому ответов два.

Ответ

30° или 150°

Сложный Задача 5

В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AC = 10$$ см, $\angle C = 45^\circ$ , площадь равна 20 см². Найдите сторону $$BC$$ .

Подсказка

Угол $$C$$ лежит между сторонами $$AC$$ и $$BC$$ . Обозначьте $$BC = a$$ и решите уравнение.

Решение

$20 = \dfrac12 \cdot a \cdot 10 \cdot \sin 45^\circ = 5a \cdot \dfrac{\sqrt2}{2}$ , то есть $20 = \dfrac{5\sqrt2}{2}\,a$ , откуда $a = \dfrac{40}{5\sqrt2} = \dfrac{8}{\sqrt2} = 4\sqrt2 \approx 5{,}66$ см. Проверка — $\dfrac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 10 \cdot \dfrac{\sqrt2}{2} = 20$ .

Ответ

BC = 4√2 ≈ 5,66 см

Сложный Задача 6

Две стороны треугольника равны $$a$$ и $$b$$ , а угол между ними можно менять. При каком угле площадь треугольника наибольшая? Объясните.

Подсказка

От угла в формуле площади зависит только множитель $\sin C$ .

Решение

В формуле $S = \dfrac12 ab \sin C$ числа $$a$$ и $$b$$ не меняются, меняется только $\sin C$ . Для углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ синус не больше 1 и равен 1 лишь при $C = 90^\circ$ . Значит, площадь наибольшая, когда стороны перпендикулярны, и равна $\dfrac12 ab$ .

Ответ

При угле 90°, тогда S = ab/2

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите две линейки или карандаша, соедините их концы в одной точке и разводите, как ножницы. Покажите, что «треугольник» между ними сначала растёт, при прямом угле самый большой, а потом снова уменьшается. Высота такого треугольника — это $b \sin C$ , отсюда и формула: половина основания на высоту.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какой угол нужно брать в формуле, если даны стороны $$AB$$ и $$AC$$ ? 2) Почему углы $30^\circ$ и $150^\circ$ между теми же сторонами дают одну и ту же площадь? 3) Во сколько раз изменится площадь, если одну сторону удвоить?

На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно находить угол между сторонами и помнить синусы $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ . Если он путается с тупыми углами, повторите формулу $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ из предыдущей темы.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 104	1109, 1110, 1111, 1112, 1113