Главная Учебники Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.) Дополнительные задачи к главе XII Задание 1149
Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.
Задание 1149
Дополнительные задачи к главе XII
Задача 1
Условие (кратко)
Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если AB = 8 см, ∠A = 30°, ∠B = 45°.
Решение
Дано \(\triangle ABC\) \(AB = 8\) см\(\angle A = 30^\circ\) \(\angle B = 45^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ\) .
По теореме синусов \(\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C}\) , \(\sin 105^\circ = \sin 75^\circ \approx 0{,}9659\) .
\(BC = \dfrac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} \approx \dfrac{4}{0{,}9659} \approx 4{,}1\) см; \(AC = \dfrac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} \approx \dfrac{5{,}657}{0{,}9659} \approx 5{,}9\) см.
В ответах учебника \(AC \approx 6\) см, \(BC \approx 4\) см — те же значения, округлённые до целых.
Ответ
∠C = 105°, AC ≈ 5,9 см, BC ≈ 4,1 см
Почему так
Третий угол — из суммы углов треугольника, две стороны — из пропорциональности сторон синусам противолежащих углов.
Подробнее — в теме «Теорема синусов» .
Задача 2
Условие (кратко)
Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если AB = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°.
Решение
Дано \(\triangle ABC\) \(AB = 5\) см\(\angle B = 45^\circ\) \(\angle C = 60^\circ\)
\(\angle A = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\) .
По теореме синусов \(BC = \dfrac{AB\sin A}{\sin C} = \dfrac{5 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \dfrac{5 \cdot 0{,}9659}{0{,}8660} \approx 5{,}6\) см.
\(AC = \dfrac{AB\sin B}{\sin C} = \dfrac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx 4{,}1\) см.
В ответах учебника \(BC \approx 6\) см, \(AC \approx 4\) см — те же значения, округлённые до целых.
Ответ
∠A = 75°, BC ≈ 5,6 см, AC ≈ 4,1 см
Почему так
Сторона AB лежит против известного угла C, поэтому через отношение AB / sin C находятся обе остальные стороны.
Подробнее — в теме «Теорема синусов» .
Задача 3
Условие (кратко)
Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если AB = 3 см, BC = 3,3 см, ∠A = 48°30′.
Решение
Дано \(\triangle ABC\) \(AB = 3\) см\(BC = 3{,}3\) см\(\angle A = 48^\circ 30'\) Найти \(\angle C\) \(\angle B\) \(AC\)
По теореме синусов \(\sin C = \dfrac{AB\sin A}{BC} = \dfrac{3 \cdot \sin 48^\circ 30'}{3{,}3} \approx \dfrac{3 \cdot 0{,}7490}{3{,}3} \approx 0{,}6809\) .
\(AB < BC\) , поэтому угол \(C\) , лежащий против меньшей стороны, меньше угла \(A\) и острый: \(\angle C \approx 42^\circ 55'\) .
\(\angle B = 180^\circ - 48^\circ 30' - 42^\circ 55' = 88^\circ 35'\) .
\(AC = \dfrac{BC\sin B}{\sin A} \approx \dfrac{3{,}3 \cdot 0{,}9997}{0{,}7490} \approx 4{,}4\) см.
В ответах учебника \(AC \approx 4\) см — округлено до целых.
Ответ
∠C ≈ 42°55′, ∠B ≈ 88°35′, AC ≈ 4,4 см
Почему так
Угол против меньшей стороны острый, поэтому по синусу он находится однозначно; дальше — сумма углов и снова теорема синусов.
Подробнее — в теме «Теорема синусов» .
Задача 4
Условие (кратко)
Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если AC = 10,4 см, BC = 5,2 см, ∠B = 62°48′.
Решение
Дано \(\triangle ABC\) \(AC = 10{,}4\) см\(BC = 5{,}2\) см\(\angle B = 62^\circ 48'\) Найти \(\angle A\) \(\angle C\) \(AB\)
По теореме синусов \(\sin A = \dfrac{BC\sin B}{AC} = \dfrac{5{,}2 \cdot \sin 62^\circ 48'}{10{,}4} \approx \dfrac{0{,}8894}{2} \approx 0{,}4447\) .
\(BC < AC\) , поэтому \(\angle A < \angle B\) и угол \(A\) острый: \(\angle A \approx 26^\circ 24'\) .
\(\angle C = 180^\circ - 62^\circ 48' - 26^\circ 24' = 90^\circ 48'\) .
\(AB = \dfrac{AC\sin C}{\sin B} \approx \dfrac{10{,}4 \cdot 0{,}9999}{0{,}8894} \approx 11{,}7\) см.
В ответах учебника указано \(\angle A \approx 26^\circ 22'\) , \(\angle C \approx 90^\circ 50'\) : расхождение в 2′ — из-за округления; точное значение \(\arcsin 0{,}4447 \approx 26^\circ 24'\) .
Ответ
∠A ≈ 26°24′, ∠C ≈ 90°48′, AB ≈ 11,7 см
Почему так
Угол A лежит против меньшей из двух известных сторон, поэтому он острый и находится по синусу однозначно.
Подробнее — в теме «Теорема синусов» .
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-12/upr-1149/