Какие равенства верны для любого треугольника ABC со сторонами a = BC, b = CA?

\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin B}{\sin A}

Теорема синусов — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Теорема о площади треугольника

Коротко о главном

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а их общее отношение равно диаметру описанной окружности.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Подробное объяснение

Геодезисту нужно узнать расстояние от берега до лодки, но мерить его рулеткой нельзя. Зато на берегу можно отмерить отрезок между двумя точками и транспортиром (теодолитом) измерить углы, под которыми из них видна лодка. Получается треугольник, в котором известны одна сторона и два угла. Теорема синусов позволяет по таким данным найти остальные стороны.

Теорема

Обозначим в треугольнике $$ABC$$ стороны $$BC = a$$ , $$CA = b$$ , $$AB = c$$ . Каждая сторона лежит против угла с той же буквой: $$a$$ — против $$A$$ , $$b$$ — против $$B$$ , $$c$$ — против $$C$$ . Тогда

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Словами: чем больше угол, тем больше его синус и тем длиннее противолежащая сторона, причём отношение «сторона : синус» у всех трёх пар одно и то же.

Почему это верно

Воспользуемся теоремой о площади треугольника. Площадь одного и того же треугольника можно записать тремя способами:

S = \frac12 ab \sin C = \frac12 bc \sin A = \frac12 ca \sin B.

Приравняем первые два выражения и сократим на $\dfrac12 b$ : получим $a \sin C = c \sin A$ , то есть $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$ . Так же из второго и третьего выражения получается $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ . Теорема доказана.

Связь с описанной окружностью

Общее отношение имеет понятный смысл — это диаметр окружности, описанной около треугольника:

\frac{a}{\sin A} = 2R.

Почему так. Проведём через вершину $$B$$ диаметр $$BD$$ описанной окружности и соединим $$D$$ с $$C$$ . Угол $$BCD$$ опирается на диаметр, поэтому он прямой. Вписанные углы $$BAC$$ и $$BDC$$ опираются на одну дугу $$BC$$ , поэтому $\angle D = \angle A$ . В прямоугольном треугольнике $$BCD$$ катет $$BC$$ лежит против угла $$D$$ , значит, $a = BD \cdot \sin D = 2R \sin A$ . Если угол $$A$$ тупой, точка $$D$$ окажется по другую сторону от $$BC$$ , угол $$D$$ будет равен $180^\circ - A$ , но синус от этого не изменится. В учебнике это доказывается в задаче 1122.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Проведён диаметр BD, угол BCD прямой, вписанные углы A и D опираются на дугу BC и равны. Подписи BD = 2R, a = 2R · sin A. — В прямоугольном треугольнике BCD катет a = BD · sin D = 2R · sin A, поэтому a/sin A = 2R.

Как решать задачи

Выпишите пары «сторона — противолежащий угол». Теорема синусов связывает именно такие пары.
Если даны два угла, третий найдите по сумме углов: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ .
Составьте пропорцию из двух пар, где три величины известны, и найдите четвёртую: например, $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$ .
Если в задаче есть описанная окружность, используйте $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ ; не забудьте, что это диаметр, а радиус вдвое меньше.
Проверьте ответ: против большего угла должна лежать большая сторона.

Разобранные примеры

База

Сторона по стороне и двум углам

Условие

В треугольнике $$ABC$$ угол $A = 30^\circ$ , угол $B = 45^\circ$ , сторона $$BC = 6$$ см. Найдите сторону $$AC$$ .

Дано

$$a = BC = 6$$ см
$\angle A = 30^\circ$
$\angle B = 45^\circ$

Найти

$$b = AC$$

Решение

Сторона $$BC$$ лежит против угла $$A$$ , сторона $$AC$$ — против угла $$B$$ . По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$ , откуда

$AC = \dfrac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6 \cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} = 6\sqrt2 \approx 8{,}49$ см.

Проверка: угол $$B$$ больше угла $$A$$ , и $$AC$$ больше $$BC$$ — так и должно быть.

Ответ: AC = 6√2 ≈ 8,49 см

Средний

Радиус описанной окружности

Условие

В треугольнике сторона равна 10 см, а противолежащий ей угол $150^\circ$ . Найдите радиус описанной окружности.

Дано

$$a = 10$$ см
$\angle A = 150^\circ$

Найти

$$R$$

Решение

$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac12$ . По теореме синусов $2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{10}{\frac12} = 20$ см, значит, $$R = 10$$ см.

Ответ: R = 10 см

Сложный

Сначала третий угол

Условие

В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AC = 8$$ см, $\angle A = 45^\circ$ , $\angle C = 105^\circ$ . Найдите сторону $$BC$$ .

Дано

$$b = AC = 8$$ см
$\angle A = 45^\circ$
$\angle C = 105^\circ$

Найти

$$a = BC$$

Решение

Сторона $$AC$$ лежит против угла $$B$$ , которого нет в условии. Находим его: $\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ$ .

По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$ , откуда

$BC = \dfrac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \dfrac{8 \cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} = 8\sqrt2 \approx 11{,}31$ см.

Ответ: BC = 8√2 ≈ 11,31 см

Типичные ошибки

Делят сторону на синус прилежащего, а не противолежащего угла

Почему неверно

Даны $$AB = 5$$ и $\angle A = 40^\circ$ , ученик пишет $\dfrac{AB}{\sin A}$ . Но сторона $$AB$$ выходит из вершины $$A$$ — угол $$A$$ для неё прилежащий. Такое отношение не равно ни $$2R$$ , ни отношениям для других сторон.

Как правильно

Против стороны лежит угол при вершине, которая этой стороне не принадлежит: против $$AB$$ — угол $$C$$ , против $$BC$$ — угол $$A$$ , против $$AC$$ — угол $$B$$ . Удобно сразу обозначать $$a = BC$$ , $$b = CA$$ , $$c = AB$$ — буквы совпадают с противолежащими углами.

Путают радиус и диаметр

Почему неверно

Отношение $\dfrac{a}{\sin A}$ равно $$2R$$ , то есть диаметру. Если записать $\dfrac{a}{\sin A} = R$ , радиус получится вдвое больше настоящего.

Как правильно

Запомните частный случай: в прямоугольном треугольнике $\dfrac{c}{\sin 90^\circ} = c$ — гипотенуза, а она и есть диаметр описанной окружности. Значит, справа стоит $$2R$$ .

Находят угол по синусу и забывают второй вариант

Почему неверно

Из теоремы синусов иногда получают, например, $\sin B = \dfrac12$ и сразу пишут $\angle B = 30^\circ$ . Но $\sin 150^\circ$ тоже равен $\dfrac12$ , и такой угол в треугольнике тоже может быть.

Как правильно

Рассмотрите оба угла, $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$ , и проверьте каждый: сумма с уже известными углами должна быть меньше $180^\circ$ , а против большей стороны должен лежать больший угол.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В треугольнике $$ABC$$ сторона $$BC = 10$$ см, $\angle A = 30^\circ$ , $\angle B = 60^\circ$ . Найдите сторону $$AC$$ .

Подсказка

Сторона $$BC$$ лежит против угла $$A$$ , а сторона $$AC$$ — против угла $$B$$ .

Решение

По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$ , откуда $AC = \dfrac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \dfrac{10 \cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} = 10\sqrt3 \approx 17{,}3$ см.

Ответ

AC = 10√3 ≈ 17,3 см

База Задача 2

Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt3$ см. Найдите радиус описанной окружности.

Подсказка

Воспользуйтесь равенством $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ ; все углы равны $60^\circ$ .

Решение

$2R = \dfrac{a}{\sin 60^\circ} = \dfrac{6\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}} = 12$ , значит, $$R = 6$$ см.

Ответ

R = 6 см

Средний Задача 3

В треугольнике $$ABC$$ угол $A = 45^\circ$ , угол $B = 60^\circ$ , сторона $$BC = 4$$ см. Найдите сторону $$AC$$ .

Подсказка

$$BC$$ лежит против угла $$A$$ , $$AC$$ — против угла $$B$$ .

Решение

$AC = \dfrac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \dfrac{4 \cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} = \dfrac{4\sqrt3}{\sqrt2} = 2\sqrt6 \approx 4{,}90$ см.

Ответ

AC = 2√6 ≈ 4,90 см

Средний Задача 4

В треугольнике угол $$C$$ равен $120^\circ$ , а противолежащая ему сторона $$AB = 10$$ см. Найдите радиус описанной окружности.

Подсказка

$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$ .

Решение

$2R = \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{10}{\frac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{20}{\sqrt3}$ , значит, $R = \dfrac{10}{\sqrt3} = \dfrac{10\sqrt3}{3} \approx 5{,}77$ см.

Ответ

R = 10√3/3 ≈ 5,77 см

Сложный Задача 5

В треугольнике $$ABC$$ углы $A = 40^\circ$ , $B = 75^\circ$ , сторона $$AB = 12$$ см. Найдите стороны $$BC$$ и $$AC$$ (с точностью до сотых; синусы возьмите по калькулятору или таблице).

Подсказка

Сначала найдите угол $$C$$ — против стороны $$AB$$ лежит именно он.

Решение

$\angle C = 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ$ . По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C}$ . Отсюда $BC = \dfrac{12 \sin 40^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \dfrac{12 \cdot 0{,}6428}{0{,}9063} \approx 8{,}51$ см, $AC = \dfrac{12 \sin 75^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \dfrac{12 \cdot 0{,}9659}{0{,}9063} \approx 12{,}79$ см.

Ответ

BC ≈ 8,51 см, AC ≈ 12,79 см

Сложный Задача 6

Синусы углов треугольника относятся как $$3 : 4 : 5$$ . Найдите отношение его сторон и определите вид треугольника.

Подсказка

По теореме синусов каждая сторона равна $$2R$$ , умноженному на синус противолежащего угла.

Решение

По теореме синусов $a = 2R \sin A$ , $b = 2R \sin B$ , $c = 2R \sin C$ , поэтому стороны относятся так же, как синусы, — в отношении 3 к 4 к 5. Пусть стороны $$3k$$ , $$4k$$ , $$5k$$ . Тогда $$(3k)^2 + (4k)^2 = 25k^2 = (5k)^2$$ , и по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный.

Ответ

Стороны относятся как 3 : 4 : 5, треугольник прямоугольный

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте треугольник и обведите вокруг него окружность (кружкой или циркулем). Скажите: каждую сторону можно получить, умножив диаметр этой окружности на синус угла, который «смотрит» на эту сторону. Отсюда и пропорциональность: больше угол — длиннее сторона напротив.

Вопросы для проверки понимания: 1) Против какого угла лежит сторона $$AB$$ ? 2) Чему равно отношение $\dfrac{a}{\sin A}$ , если известен радиус описанной окружности? 3) В треугольнике известны одна сторона и два угла — как найти остальные стороны?

На что обратить внимание. Главное — без ошибок находить пары «сторона — противолежащий угол». Если ребёнок путается, пусть подписывает стороны маленькими буквами $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ напротив вершин $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ . Синус тупого угла понадобится постоянно: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ .

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 105	1115, 1116, 1118, 1122