Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1150

Дополнительные задачи к главе XII

Задача 1

Условие (кратко)

Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если AB = 5 см, AC = 7,5 см, ∠A = 135°.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$$AB = 5$$ см
$$AC = 7{,}5$$ см
$\angle A = 135^\circ$

Найти

$$BC$$
$\angle B$
$\angle C$

По теореме косинусов $BC^2 = 5^2 + 7{,}5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7{,}5 \cdot \cos 135^\circ = 25 + 56{,}25 + 75 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 134{,}28$ , $BC \approx 11{,}6$ см.
Угол $$A$$ тупой, значит, $$B$$ и $$C$$ острые. $\cos B = \dfrac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \approx \dfrac{25 + 134{,}28 - 56{,}25}{2 \cdot 5 \cdot 11{,}588} \approx 0{,}8891$ , $\angle B \approx 27^\circ 14'$ .
$\angle C = 180^\circ - 135^\circ - 27^\circ 14' = 17^\circ 46'$ .

В ответах учебника: $BC \approx 12$ см, $\angle B \approx 27^\circ 15'$ , $\angle C \approx 17^\circ 45'$ — то же с более грубым округлением.

Ответ

BC ≈ 11,6 см, ∠B ≈ 27°14′, ∠C ≈ 17°46′

Почему так

Третью сторону дают две стороны и угол между ними по теореме косинусов, затем угол — по той же теореме, а последний — по сумме углов.

Подробнее — в теме «Теорема косинусов».

Задача 2

Условие (кратко)

Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если AB = 2√2 дм, BC = 3 дм, ∠B = 45°.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$AB = 2\sqrt{2}$ дм
$$BC = 3$$ дм
$\angle B = 45^\circ$

Найти

$$AC$$
$\angle A$
$\angle C$

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC\cos 45^\circ = 8 + 9 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 17 - 12 = 5$ , $AC = \sqrt{5}$ дм.
$\cos A = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \dfrac{8 + 5 - 9}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}3162$ , $\angle A \approx 71^\circ 34'$ .
$\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 71^\circ 34' = 63^\circ 26'$ .

Ответ

AC = √5 дм, ∠A ≈ 71°34′, ∠C ≈ 63°26′

Почему так

По двум сторонам и углу между ними теорема косинусов даёт третью сторону точно, а косинус угла — по трём сторонам.

Подробнее — в теме «Теорема косинусов».

Задача 3

Условие (кратко)

Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если AC = 0,6 м, BC = √3/4 дм, ∠C = 150°.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$$AC = 0{,}6$$ м $$= 6$$ дм
$BC = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$ дм
$\angle C = 150^\circ$

Найти

$$AB$$
$\angle A$
$\angle B$

$AB^2 = 36 + \dfrac{3}{16} - 2 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot \cos 150^\circ = 36 + \dfrac{3}{16} + 3\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 36 + 0{,}1875 + 4{,}5 = 40{,}6875$ , $AB \approx 6{,}4$ дм.
$\cos A = \dfrac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} \approx \dfrac{36 + 40{,}6875 - 0{,}1875}{2 \cdot 6 \cdot 6{,}3787} \approx 0{,}99942$ , $\angle A \approx 1^\circ 57' \approx 2^\circ$ .
$\angle B = 180^\circ - 150^\circ - \angle A \approx 28^\circ 03' \approx 28^\circ$ .

Ответ

AB ≈ 6,4 дм, ∠A ≈ 2°, ∠B ≈ 28°

Почему так

Стороны сначала переводят в одни единицы (дециметры), затем третью сторону находят по теореме косинусов, а угол против маленькой стороны получается очень малым.

Подробнее — в теме «Теорема косинусов».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-12/upr-1150/