В треугольнике a^2 > b^2 + c^2. Каким является угол A?

Это зависит от длины стороны a

Какие утверждения верны?

Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов

По трём сторонам треугольника можно найти любой его угол

Если косинус угла A отрицателен, то сторона a — наибольшая в треугольнике

Теорема косинусов верна только для остроугольных треугольников

Теорема косинусов — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Коротко о главном

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

Теорема позволяет найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними, а любой угол — по трём сторонам.

Подробное объяснение

Представьте, что вы идёте 300 м по одной улице, потом поворачиваете и идёте 500 м по другой. Как далеко вы от начальной точки? Если поворот был ровно на прямой угол, хватит теоремы Пифагора. А если улицы пересекаются под углом $60^\circ$ или $120^\circ$ ? Ответ даёт теорема косинусов — «Пифагор для любого треугольника».

Обозначения

В треугольнике $$ABC$$ сторону против вершины обозначают той же маленькой буквой: $$a = BC$$ (против $$A$$ ), $$b = CA$$ , $$c = AB$$ . Угол $$A$$ лежит между сторонами $$b$$ и $$c$$ .

Теорема и доказательство

Поместим вершину $$A$$ в начало координат, а сторону $$AB$$ направим по оси $$Ox$$ . Тогда $$B(c; 0)$$ . Точка $$C$$ лежит на расстоянии $$b$$ от начала координат, и луч $$AC$$ образует с осью $$Ox$$ угол $$A$$ , поэтому $C(b \cos A; b \sin A)$ — это определение синуса и косинуса из п. 100.

Треугольник ABC с вершиной A в начале координат и стороной AB на оси x. B(c; 0), C(b cos A; b sin A); сторона a = BC выделена красным, пунктиром показаны координаты точки C. — По формуле расстояния a² = (b cos A − c)² + (b sin A)² = b² + c² − 2bc cos A.

По формуле расстояния между точками:

a^2 = BC^2 = (b \cos A - c)^2 + (b \sin A)^2 = b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) - 2bc \cos A + c^2.

Так как $\cos^2 A + \sin^2 A = 1$ , получаем $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ . Для сторон $$b$$ и $$c$$ формулы такие же:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B, \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C.

Связь с теоремой Пифагора

Если $\angle A = 90^\circ$ , то $\cos A = 0$ и формула превращается в $$a^2 = b^2 + c^2$$ . Поэтому теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора. Слагаемое $-2bc \cos A$ — «поправка» на то, что угол не прямой:

угол острый — $\cos A > 0$ , поправка вычитается, сторона $$a$$ короче, чем в прямоугольном треугольнике;
угол тупой — $\cos A < 0$ , минус на минус даёт плюс, сторона $$a$$ длиннее.

Как найти угол по трём сторонам

Выразим косинус из формулы:

\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.

Знаменатель всегда положителен, поэтому знак косинуса зависит только от числителя. Отсюда простой способ узнать вид треугольника: сравните квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других. Больше — треугольник тупоугольный, равно — прямоугольный, меньше — остроугольный.

Как решать задачи

Отметьте, что дано: две стороны и угол между ними или три стороны.
Ищете сторону — запишите формулу так, чтобы искомая сторона стояла слева, а справа был угол против неё.
Ищете угол — подставьте стороны в формулу для косинуса; сторона против искомого угла идёт со знаком минус.
Для угла больше $90^\circ$ косинус отрицательный: $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ , $\cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
Не забудьте извлечь корень из $$a^2$$ и проверить, что ответ разумный: каждая сторона меньше суммы двух других.

Разобранные примеры

База

Третья сторона по двум сторонам и углу

Условие

В треугольнике $$ABC$$ $$b = 3$$ см, $$c = 8$$ см, $\angle A = 60^\circ$ . Найдите $$a$$ .

Дано

$$b = 3$$ см
$$c = 8$$ см
$\angle A = 60^\circ$

Найти

$$a$$

Решение

Угол $$A$$ лежит между сторонами $$b$$ и $$c$$ , поэтому

a^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49, \quad a = 7 \text{ см}.

Ответ: 7 см

Средний

Угол по трём сторонам

Условие

Стороны треугольника равны 5, 7 и 8. Найдите угол, лежащий против стороны 7.

Дано

стороны 5
7
8

Найти

угол $\alpha$ против стороны 7

Решение

Сторона 7 стоит в числителе со знаком минус:

\cos \alpha = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}.

Угол с косинусом $\dfrac{1}{2}$ равен $60^\circ$ .

Ответ: 60°

Сложный

Расстояние через озеро

Условие

Нужно узнать длину озера между точками $$A$$ и $$B$$ . Из точки $$C$$ на берегу измерили $$CA = 300$$ м, $$CB = 500$$ м и угол $ACB = 120^\circ$ . Найдите $$AB$$ .

Дано

$$CA = 300$$ м
$$CB = 500$$ м
$\angle C = 120^\circ$

Найти

$$AB$$

Решение

Угол $$C$$ лежит между известными сторонами, $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ :

AB^2 = 300^2 + 500^2 - 2 \cdot 300 \cdot 500 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 90\,000 + 250\,000 + 150\,000 = 490\,000.

$$AB = 700$$ м. Проверка на разумность: угол тупой, и $$AB$$ получилась больше обеих сторон $$CA$$ и $$CB$$ — так и должно быть.

Ответ: 700 м

Типичные ошибки

Берут угол, который не лежит между данными сторонами

Почему неверно

В формуле $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ угол $$A$$ — именно тот, что заключён между $$b$$ и $$c$$ , то есть лежит против $$a$$ . Если подставить другой угол, получится длина совсем другого отрезка.

Как правильно

Сделайте чертёж и проверьте: искомая сторона стоит слева, а угол в формуле лежит напротив неё. Если дан угол не между известными сторонами, сначала нужна теорема синусов.

Теряют минус у косинуса тупого угла

Почему неверно

$\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ , а не $\dfrac{1}{2}$ . Если забыть минус, сторона против тупого угла выйдет короче, чем на самом деле, — например, 436 м вместо 700 м в примере с озером.

Как правильно

Для тупого угла используйте $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ и аккуратно пишите скобки: $-2bc \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = +bc$ .

Забывают извлечь корень

Почему неверно

Формула даёт $$a^2$$ , а не $$a$$ . Ответ «49» вместо «7» — квадрат стороны.

Как правильно

Последний шаг — всегда $a = \sqrt{\ldots}$ . Для проверки сравните ответ с данными сторонами: сторона треугольника не может быть больше суммы двух других.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В треугольнике $$ABC$$ известно $$b = 5$$ , $$c = 8$$ , $\angle A = 60^\circ$ . Найдите сторону $$a$$ .

Подсказка

Угол $$A$$ лежит между сторонами $$b$$ и $$c$$ , а $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ .

Решение

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ , $$a = 7$$ .

Ответ

7

База Задача 2

Стороны треугольника равны 3, 5 и 7. Найдите его наибольший угол.

Подсказка

Наибольший угол лежит против наибольшей стороны.

Решение

Против стороны 7 лежит наибольший угол $\alpha$ . $\cos \alpha = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac{1}{2}$ , значит, $\alpha = 120^\circ$ .

Ответ

120°

Средний Задача 3

Стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см, острый угол $60^\circ$ . Найдите его диагонали.

Подсказка

Меньшая диагональ лежит против острого угла, большая — против тупого, равного $120^\circ$ .

Решение

Меньшая диагональ: $d_1^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 52 - 24 = 28$ , $d_1 = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29$ см. Большая: $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ , $$d_2^2 = 52 + 24 = 76$$ , $d_2 = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72$ см.

Ответ

2√7 см ≈ 5,29 см и 2√19 см ≈ 8,72 см

Средний Задача 4

Остроугольный, прямоугольный или тупоугольный треугольник со сторонами 7, 8 и 12?

Подсказка

Сравните квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других.

Решение

$$12^2 = 144$$ , а $$7^2 + 8^2 = 113$$ . Так как $$144 > 113$$ , косинус угла против стороны 12 равен $\dfrac{113 - 144}{2 \cdot 7 \cdot 8} < 0$ , этот угол тупой.

Ответ

Тупоугольный

Сложный Задача 5

Стороны треугольника равны 4, 5 и 6. Найдите медиану, проведённую к стороне 6.

Подсказка

Найдите косинус угла между сторонами 5 и 6 из большого треугольника и примените теорему косинусов ещё раз — к треугольнику, отсечённому медианой.

Решение

Пусть $$BC = 6$$ , $$AB = 4$$ , $$AC = 5$$ , $$M$$ — середина $$BC$$ , $$CM = 3$$ . Из $\triangle ABC$ получаем $\cos C = \dfrac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$ . Из $\triangle AMC$ получаем $AM^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \dfrac{3}{4} = 34 - 22{,}5 = 11{,}5$ , $AM = \sqrt{11{,}5} = \dfrac{\sqrt{46}}{2} \approx 3{,}39$ .

Ответ

√46 / 2 ≈ 3,39

Сложный Задача 6

Два катера одновременно выходят из порта по прямым, угол между которыми $120^\circ$ . Скорость первого 10 км/ч, второго 15 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

Подсказка

За 2 ч катера пройдут 20 км и 30 км; расстояние между ними — третья сторона треугольника.

Решение

$d^2 = 20^2 + 30^2 - 2 \cdot 20 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ = 400 + 900 + 600 = 1900$ , $d = 10\sqrt{19} \approx 43{,}6$ км.

Ответ

10√19 км ≈ 43,6 км

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите две линейки или карандаша, скреплённые в одной точке, как циркуль. Пусть их длины 10 и 15 см. Раздвигайте их и измеряйте расстояние между концами: при прямом угле оно $\sqrt{100 + 225} \approx 18$ см, при остром — меньше, при тупом — больше. Теорема косинусов точно говорит, насколько: $a^2 = 100 + 225 - 300 \cos \alpha$ . Вопросы для проверки понимания: 1) Во что превращается теорема косинусов, если угол прямой? 2) Как по трём сторонам узнать, тупоугольный ли треугольник? 3) Какой знак у косинуса тупого угла? На что обратить внимание. Ребёнок должен видеть, что угол в формуле лежит между двумя сторонами справа и напротив стороны слева. И пусть проверяет знак косинуса, если угол больше $90^\circ$ .

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 106	1119, 1120, 1121, 1124