Задача 1
Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если ∠A = α, AB = c, AC = b.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle A = \alpha\)
- \(AB = c\)
- \(AC = b\)
- \(AD\) — биссектриса
- \(AD\)
-
Биссектриса делит треугольник на \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\), в каждом угол при вершине \(A\) равен \(\dfrac{\alpha}{2}\). Поэтому \(S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}\).
-
По теореме о площади треугольника: \(\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha = \dfrac{1}{2}c \cdot AD\sin\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{1}{2}b \cdot AD\sin\dfrac{\alpha}{2}\).
-
\(\sin\alpha = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\) (это следует из той же формулы площади для равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 1 и углом \(\alpha\) при вершине). Сократив на \(\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2} \ne 0\), получаем \(2bc\cos\dfrac{\alpha}{2} = AD\,(b + c)\).
-
\(AD = \dfrac{2bc\cos\dfrac{\alpha}{2}}{b + c}\).
Ответ
Площадь всего треугольника равна сумме площадей двух треугольников, на которые его делит биссектриса; каждая площадь записывается через синус половины угла.
Подробнее — в теме «Теорема о площади треугольника».