Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XII, задание 1154

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что треугольник с вершинами A(3; 0), B(1; 5) и C(2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

Решение

Дано

$$A(3; 0)$$
$$B(1; 5)$$
$$C(2; 1)$$ . Доказать: $\triangle ABC$ тупоугольный

Найти

косинус тупого угла

Наибольшая сторона: $$AB^2 = 4 + 25 = 29$$ , $$AC^2 = 1 + 1 = 2$$ , $$BC^2 = 1 + 16 = 17$$ . Против $$AB$$ лежит угол $$C$$ — проверим его.
$\overrightarrow{CA}\{1; -1\}$ , $\overrightarrow{CB}\{-1; 4\}$ . Скалярное произведение $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 = -5 < 0$ , значит, угол $$C$$ тупой и треугольник тупоугольный.
$\cos C = \dfrac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} = \dfrac{-5}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{17}} = -\dfrac{5}{\sqrt{34}} = -\dfrac{5\sqrt{34}}{34}$ .

Ответ

Угол C тупой, cos C = −5√34/34

Почему так

Угол треугольника тупой, если скалярное произведение векторов, идущих из его вершины по сторонам, отрицательно.

Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).