Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Если векторы заданы координатами \(\vec{a}\{x_1; y_1\}\) и \(\vec{b}\{x_2; y_2\}\), их скалярное произведение — сумма произведений соответствующих координат. Со скалярным произведением можно раскрывать скобки, как с обычным умножением чисел.
Подробное объяснение
По определению \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha\). Но угол между векторами часто неизвестен: даны только координаты. Оказывается, угол и не нужен — скалярное произведение считается по координатам за пару действий.
Формула в координатах
В прямоугольной системе координат для \(\vec{a}\{x_1; y_1\}\) и \(\vec{b}\{x_2; y_2\}\)
Откуда она берётся. Отложим векторы от точки \(O\): \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\). Тогда \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\). По теореме косинусов \(AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cos \alpha\), а последнее слагаемое — это \(2\vec{a} \cdot \vec{b}\). Значит,
Квадраты длин выражаются через координаты: \(|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2\), \(|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2\), \(|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\). После раскрытия скобок квадраты сокращаются и остаётся \(x_1x_2 + y_1y_2\).
Два следствия
Перпендикулярность. Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(x_1x_2 + y_1y_2 = 0\). Например, у векторов \(\{3; 1\}\) и \(\{-1; 3\}\) сумма произведений координат \(3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 0\), значит, они перпендикулярны.
Удобный приём: чтобы получить вектор, перпендикулярный \(\{x; y\}\), поменяйте координаты местами и у одной смените знак: \(\{-y; x\}\).
Косинус угла. Из определения \(\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\), а в координатах
Так находят углы треугольника по координатам вершин: угол при вершине \(A\) — это угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и числа \(k\):
- \(\vec{a}^2 \ge 0\), причём \(\vec{a}^2 > 0\) при \(\vec{a} \ne \vec{0}\);
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) — переместительный закон;
- \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\) — распределительный закон;
- \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\) — сочетательный закон.
Законы 3 и 4 проверяются через формулу в координатах. Распределительный закон верен для любого числа слагаемых.
Главное следствие: выражения с векторами раскрываются, как алгебраические. Например,
А так как \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2\), можно находить длину суммы векторов, зная их длины и угол между ними. Так решают задачи о равнодействующей сил, о медианах и диагоналях.
Как решать задачи
- Векторы даны координатами — считайте \(x_1x_2 + y_1y_2\).
- Нужна перпендикулярность — приравняйте \(x_1x_2 + y_1y_2\) к нулю (векторы должны быть ненулевыми).
- Нужен угол — найдите скалярное произведение и длины, затем \(\cos \alpha\) и угол.
- Векторы даны длинами и углом, а спрашивают о сумме или разности — возведите в скалярный квадрат и раскройте скобки.
Разобранные примеры
Скалярное произведение по координатам
Даны векторы \(\vec{a}\{3; -2\}\) и \(\vec{b}\{4; 5\}\). Найдите \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Перпендикулярны ли векторы?
- \(\vec{a}\{3; -2\}\)
- \(\vec{b}\{4; 5\}\)
- \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 = 12 - 10 = 2\).
Произведение не равно нулю, поэтому векторы не перпендикулярны; оно положительно — угол между ними острый.
Угол между векторами
Найдите угол между векторами \(\vec{a}\{1; 2\}\) и \(\vec{b}\{3; 1\}\).
- \(\vec{a}\{1; 2\}\)
- \(\vec{b}\{3; 1\}\)
- угол \(\alpha\)
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5\).
- \(|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\), \(|\vec{b}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\).
- \(\cos \alpha = \dfrac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому \(\alpha = 45^\circ\).
Длина разности векторов
\(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 4\), угол между векторами равен \(60^\circ\). Найдите \(|2\vec{a} - \vec{b}|\).
- \(|\vec{a}| = 3\)
- \(|\vec{b}| = 4\)
- \(\alpha = 60^\circ\)
- \(|2\vec{a} - \vec{b}|\)
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 6\).
- \((2\vec{a} - \vec{b})^2 = 4\vec{a}^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 4 \cdot 9 - 4 \cdot 6 + 16 = 28\).
- \(|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).
Типичные ошибки
Для \(\vec{a}\{3; 1\}\) и \(\vec{b}\{2; 5\}\) иногда считают \(3 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = 17\). Но в формуле перемножаются одноимённые координаты: первая с первой, вторая со второй.
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 5 = 11\). Подписывайте координаты \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) перед подстановкой.
\(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\) только для сонаправленных векторов. В общем случае длину суммы нельзя сложить — нужно учитывать угол.
Найдите \((\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2\) и извлеките корень.
\((\vec{a} + \vec{b})^2\) записывают как \(\vec{a}^2 + \vec{b}^2\), забывая \(2\vec{a} \cdot \vec{b}\). Это та же ошибка, что \((x + y)^2 = x^2 + y^2\) в алгебре. Слагаемое пропадает только у перпендикулярных векторов.
Раскрывайте скобки по распределительному закону полностью: каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\{2; -3\}\) и \(\vec{b}\{4; 1\}\).
Показать ответ
Ответ: 5
\(2 \cdot 4 + (-3) \cdot 1 = 8 - 3 = 5\).
-
Какой из векторов перпендикулярен вектору \(\{2; 5\}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) {−5; 2}
\(2 \cdot (-5) + 5 \cdot 2 = 0\); у остальных сумма произведений координат не равна нулю.
-
Какие свойства скалярного произведения верны для любых векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и числа \(k\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\); Б) \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\); В) \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
Переместительный, распределительный и сочетательный законы верны всегда, а \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \ge 0\).
-
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) единичные и перпендикулярные. Найдите \((\vec{a} + \vec{b})^2\).
Показать ответ
Ответ: 2
\((\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 1 + 0 + 1 = 2\).
-
Чему равен угол между векторами \(\vec{a}\{1; 1\}\) и \(\vec{b}\{-1; 0\}\)?
Показать ответ
Ответ: В) 135°
\(\cos \alpha = \dfrac{-1 + 0}{\sqrt{2} \cdot 1} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому \(\alpha = 135^\circ\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\{-2; 5\}\) и \(\vec{b}\{3; 1\}\).
Подсказка
Перемножьте первые координаты, затем вторые и сложите результаты.
Решение
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 3 + 5 \cdot 1 = -6 + 5 = -1\).
Ответ
При каком значении \(m\) векторы \(\vec{a}\{m; 4\}\) и \(\vec{b}\{6; -3\}\) перпендикулярны?
Подсказка
У перпендикулярных ненулевых векторов \(x_1x_2 + y_1y_2 = 0\).
Решение
Векторы ненулевые, поэтому \(6m + 4 \cdot (-3) = 0\), откуда \(6m = 12\), \(m = 2\).
Ответ
Найдите косинус угла между векторами \(\vec{a}\{4; 3\}\) и \(\vec{b}\{0; 2\}\).
Подсказка
\(\cos \alpha = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).
Решение
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 6\), \(|\vec{a}| = \sqrt{16 + 9} = 5\), \(|\vec{b}| = 2\). \(\cos \alpha = \dfrac{6}{5 \cdot 2} = 0{,}6\).
Ответ
Найдите угол \(A\) треугольника с вершинами \(A(0; 0)\), \(B(4; 0)\), \(C(2; 2)\).
Подсказка
Угол \(A\) — угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).
Решение
\(\overrightarrow{AB}\{4; 0\}\), \(\overrightarrow{AC}\{2; 2\}\). \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 8\), \(|\overrightarrow{AB}| = 4\), \(|\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{2}\). \(\cos A = \dfrac{8}{4 \cdot 2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому \(\angle A = 45^\circ\).
Ответ
Известно, что \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 3\), а угол между векторами равен \(120^\circ\). Найдите \(|\vec{a} + \vec{b}|\).
Подсказка
Найдите скалярный квадрат \((\vec{a} + \vec{b})^2\), раскрыв скобки.
Решение
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = -3\). \((\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 = 4 - 6 + 9 = 7\), значит, \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}\).
Ответ
При каких \(k\) векторы \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} - k\vec{b}\) перпендикулярны, если \(|\vec{a}| = 6\), \(|\vec{b}| = 2\), а векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны?
Подсказка
Раскройте скобки в \((\vec{a} + k\vec{b}) \cdot (\vec{a} - k\vec{b})\) — получится разность квадратов.
Решение
Векторы \(\vec{a} \pm k\vec{b}\) ненулевые, так как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны. \((\vec{a} + k\vec{b}) \cdot (\vec{a} - k\vec{b}) = \vec{a}^2 - k^2\vec{b}^2 = 36 - 4k^2\). Приравниваем к нулю, \(4k^2 = 36\), откуда \(k = 3\) или \(k = -3\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге стрелку «3 вправо, 1 вверх» и стрелку «1 влево, 3 вверх». Предложите посчитать \(3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3\) — получится ноль, и угольник подтвердит, что стрелки перпендикулярны. Потом возьмите другую пару и покажите, что знак числа подсказывает, острый угол или тупой.
Вопросы для проверки понимания: 1) Как по координатам проверить, что векторы перпендикулярны? 2) Как найти косинус угла между векторами \(\{1; 0\}\) и \(\{1; 1\}\)? 3) Чему равно \((\vec{a} - \vec{b})^2\)?
На что обратить внимание. Формула работает только для координат в прямоугольной системе. Важно, чтобы школьник видел два пути к одному числу: по длинам и углу или по координатам. Задачи часто требуют перейти от одного к другому.