Задача 1
Условие (кратко)
Найдите длину вектора a = 3i − 4j, где i и j — координатные векторы.
Решение
Дано
- \(\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j}\)
- \(\vec{i}\)
- \(\vec{j}\) — координатные векторы
Найти
- \(|\vec{a}|\)
-
Координатные векторы единичные и перпендикулярные: \(\vec{i}^{\,2} = \vec{j}^{\,2} = 1\), \(\vec{i} \cdot \vec{j} = 0\).
-
\(|\vec{a}|^2 = \vec{a}^{\,2} = (3\vec{i} - 4\vec{j})^2 = 9\vec{i}^{\,2} - 24\,\vec{i} \cdot \vec{j} + 16\vec{j}^{\,2} = 9 + 16 = 25\).
-
\(|\vec{a}| = 5\). (То же даёт формула длины по координатам: \(\vec{a}\{3; -4\}\), \(|\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5\).)
Ответ
|a| = 5
Почему так
Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату, а скалярные квадраты координатных векторов равны 1, их произведение — 0.
Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».