Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Угол между векторами — угол между ними, когда их отложили от одной точки; он бывает от \(0^\circ\) до \(180^\circ\). Скалярное произведение векторов — это число: произведение их длин на косинус угла между ними.
Подробное объяснение
Вы тянете санки за верёвку. Если верёвка идёт вдоль дороги, вся сила работает на движение. Если тянуть вверх под углом, часть усилия «пропадает». А если тянуть строго вверх, санки вперёд не поедут вовсе. Важна не только величина силы, но и угол между силой и направлением движения. Скалярное произведение векторов как раз объединяет длины и угол в одно число.
Угол между векторами
Пусть даны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Отложим их от одной точки \(O\): \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\). Угол \(AOB\) и называют углом между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Обозначение: \(\widehat{\vec{a}\vec{b}}\). От выбора точки \(O\) угол не зависит.
Особые случаи:
- векторы сонаправлены (в том числе если хотя бы один нулевой) — угол \(0^\circ\);
- векторы противоположно направлены — угол \(180^\circ\);
- угол \(90^\circ\) — векторы называют перпендикулярными: \(\vec{a} \perp \vec{b}\).
Главная ловушка — векторы, которые идут «друг за другом», например стороны треугольника \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Угол треугольника \(ABC\) здесь не подходит: один вектор надо перенести так, чтобы начала совпали. Тогда получится смежный угол \(180^\circ - \angle B\).
Полезное правило: если один из векторов заменить противоположным, угол \(\alpha\) заменится на \(180^\circ - \alpha\).
Скалярное произведение
Скалярным произведением векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называют число
где \(\alpha\) — угол между векторами. Пишут \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) или \(\vec{a}\vec{b}\). Результат — не вектор, а обычное число («скаляр»).
Знак произведения ненулевых векторов определяет косинус:
- угол острый — \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\);
- угол прямой — \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\);
- угол тупой — \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\).
Отсюда важный признак: ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Если векторы сонаправлены, \(\cos 0^\circ = 1\) и \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\). В частности, \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\). Это произведение называют скалярным квадратом и пишут \(\vec{a}^2\): скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Связь с физикой
Работа постоянной силы \(\vec{F}\) при перемещении \(\overrightarrow{MN}\) равна \(A = |\vec{F}| \cdot |\overrightarrow{MN}| \cdot \cos \varphi\), то есть скалярному произведению силы и перемещения: \(A = \vec{F} \cdot \overrightarrow{MN}\). Сила, перпендикулярная перемещению, работы не совершает.
Как решать задачи
- Найдите угол между векторами: при необходимости перенесите один вектор так, чтобы начала совпали.
- Найдите длины векторов (теорема Пифагора, свойства фигуры).
- Подставьте в формулу \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha\); для тупых углов — формулы приведения: \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\).
- Если известно произведение, а нужен угол, — выразите \(\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).
Разобранные примеры
Углы между векторами в прямоугольном треугольнике
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(\angle A = 30^\circ\). Найдите углы между векторами: а) \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\); б) \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{AB}\); в) \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\).
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(\angle A = 30^\circ\)
- три угла между векторами
а) Векторы выходят из точки \(A\), угол между ними — \(\angle CAB = 30^\circ\).
б) \(\overrightarrow{CA}\) противоположен \(\overrightarrow{AC}\), поэтому угол равен \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\).
в) Векторы выходят из точки \(C\), угол — \(\angle ACB = 90^\circ\), векторы перпендикулярны.
Скалярное произведение сторон треугольника
В треугольнике \(ABC\) \(AB = 5\), \(AC = 8\), \(\angle A = 60^\circ\). Найдите \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC}\).
- \(AB = 5\)
- \(AC = 8\)
- \(\angle A = 60^\circ\)
- два скалярных произведения
- \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) выходят из точки \(A\), угол между ними \(60^\circ\): \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 20\).
- \(\overrightarrow{BA}\) противоположен \(\overrightarrow{AB}\), угол между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен \(120^\circ\): \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \cdot 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -20\).
Угол по скалярному произведению
Известно, что \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\) и \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\). Найдите угол между векторами.
- \(|\vec{a}| = 2\)
- \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\)
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\)
- угол \(\alpha\)
\(\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Косинус отрицателен — угол тупой. \(\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), значит, \(\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).
Типичные ошибки
Для \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CB}\) в равностороннем треугольнике пишут угол \(60^\circ\). Но угол между векторами измеряют, только отложив их от одной точки. Перенесённый в точку \(C\) вектор \(\overrightarrow{AC}\) смотрит «наружу», и угол получается \(120^\circ\).
Сначала проверьте, выходят ли векторы из одной точки. Если нет — перенесите один из них. Если вектор «входит» в вершину, а другой из неё «выходит», угол равен \(180^\circ\) минус угол фигуры.
Угол между прямыми не бывает больше \(90^\circ\), и тупой угол иногда «исправляют» на острый. У векторов важно направление: угол между ними может быть от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), и тупой угол даёт отрицательное скалярное произведение.
Не заменяйте тупой угол на острый. Для \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) угол \(180^\circ\), а не \(0^\circ\).
Запись \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\) верна только для сонаправленных векторов. А ответ «вектор длиной 12» бессмыслен: скалярное произведение — число, у него нет направления.
Всегда умножайте на \(\cos \alpha\) и записывайте ответ числом, возможно отрицательным или нулём.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равен угол между ненулевым вектором \(\vec{a}\) и вектором \(-\vec{a}\)?
Показать ответ
Ответ: В) 180°
Векторы \(\vec{a}\) и \(-\vec{a}\) противоположно направлены, угол между ними \(180^\circ\).
-
Найдите \(\vec{a} \cdot \vec{b}\), если \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 4\), а угол между векторами равен \(120^\circ\).
Показать ответ
Ответ: -6
\(3 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 12 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -6\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю; Б) Если угол между ненулевыми векторами тупой, их скалярное произведение отрицательно; В) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины
Скалярное произведение — число \(|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha\); его знак совпадает со знаком косинуса, а при \(\vec{a} = \vec{b}\) получаем \(|\vec{a}|^2\).
-
Угол между ненулевыми векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(35^\circ\). Каков знак \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)?
Показать ответ
Ответ: А) Положительный
Угол острый, \(\cos 35^\circ > 0\), а длины ненулевых векторов положительны.
-
Длина вектора \(\vec{a}\) равна 5. Чему равен скалярный квадрат \(\vec{a}^2\)?
Показать ответ
Ответ: 25
\(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 5^2 = 25\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Длины векторов \(|\vec{a}| = 4\) и \(|\vec{b}| = 5\), угол между ними \(60^\circ\). Найдите \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
Подсказка
Перемножьте длины и косинус угла; \(\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\).
Решение
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{1}{2} = 10\).
Ответ
Треугольник \(ABC\) равносторонний. Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\).
Подсказка
Отложите оба вектора от точки \(B\).
Решение
Отложенный от \(B\) вектор \(\overrightarrow{AB}\) идёт по продолжению стороны \(AB\) за точку \(B\). С вектором \(\overrightarrow{BC}\) он образует угол, смежный с \(\angle ABC = 60^\circ\), то есть \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Ответ
Известно, что \(|\vec{a}| = 6\), \(|\vec{b}| = 2\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -6\). Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Подсказка
Из определения \(\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).
Решение
\(\cos \alpha = \dfrac{-6}{6 \cdot 2} = -\dfrac{1}{2}\). Угол от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) с таким косинусом — \(120^\circ\).
Ответ
В прямоугольнике \(ABCD\) стороны \(AB = 4\) и \(AD = 3\). Найдите \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
Подсказка
Найдите диагональ \(AC\) и косинус угла \(BAC\) из прямоугольного треугольника \(ABC\).
Решение
По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{16 + 9} = 5\). В треугольнике \(ABC\) \(\cos \angle BAC = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{5}\). Тогда \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot 5 \cdot \dfrac{4}{5} = 16\).
Ответ
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(AC = BC = 2\). Найдите \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\).
Подсказка
Угол \(ABC\) равен \(45^\circ\), но векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) не выходят из одной точки.
Решение
\(AB = 2\sqrt{2}\), \(\angle ABC = 45^\circ\). Отложив \(\overrightarrow{AB}\) от точки \(B\), получим угол между векторами \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos 135^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -4\).
Ответ
Скалярное произведение ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) отрицательно. Каким — острым, прямым или тупым — будет угол между векторами \(\vec{a}\) и \(-\vec{b}\)?
Подсказка
Как связаны углы между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) и между \(\vec{a}\) и \(-\vec{b}\)?
Решение
Раз \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\), угол \(\alpha\) между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) тупой. Вектор \(-\vec{b}\) направлен противоположно \(\vec{b}\), поэтому угол между \(\vec{a}\) и \(-\vec{b}\) равен \(180^\circ - \alpha\) — он острый.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите два карандаша и сложите их концами в одной точке: угол между ними и есть угол между векторами. Покажите, что если карандаш «перевернуть», угол станет дополнительным до \(180^\circ\). Потом объясните скалярное произведение через санки: тянем верёвку под разными углами — чем ближе верёвка к направлению движения, тем больше «полезная» работа; при угле \(90^\circ\) она равна нулю, а при тупом угле мы тормозим санки.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? 2) Почему угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) в треугольнике не равен углу \(B\)? 3) Как по знаку скалярного произведения узнать, острый угол между векторами или тупой?
На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно помнить косинусы \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) и формулу \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\) — без них задачи на тупые углы не решаются. И стоит убедиться, что он не путает скалярное произведение с умножением вектора на число.