Задача 1
Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах a = 5p + 2q и b = p − 3q, если |p| = 2√2, |q| = 3, угол между p и q равен 45°.
Решение
- \(\vec{a} = 5\vec{p} + 2\vec{q}\)
- \(\vec{b} = \vec{p} - 3\vec{q}\)
- \(|\vec{p}| = 2\sqrt{2}\)
- \(|\vec{q}| = 3\)
- угол между \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) равен \(45^\circ\)
- диагонали параллелограмма
-
Диагонали параллелограмма, построенного на \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), — векторы \(\vec{a} + \vec{b} = 6\vec{p} - \vec{q}\) и \(\vec{a} - \vec{b} = 4\vec{p} + 5\vec{q}\).
-
\(\vec{p}^{\,2} = 8\), \(\vec{q}^{\,2} = 9\), \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos 45^\circ = 6\).
-
\(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 36\vec{p}^{\,2} - 12\,\vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q}^{\,2} = 288 - 72 + 9 = 225\), длина \(15\).
-
\(|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 16\vec{p}^{\,2} + 40\,\vec{p} \cdot \vec{q} + 25\vec{q}^{\,2} = 128 + 240 + 225 = 593\), длина \(\sqrt{593} \approx 24{,}4\).
Ответ
Диагонали — сумма и разность векторов-сторон; их длины находят через скалярный квадрат, раскрывая скобки.
Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».