Задача 1
При каком значении x векторы p = xa + 17b и q = 3a − b перпендикулярны, если |a| = 2, |b| = 5, угол между a и b равен 120°?
Решение
- \(\vec{p} = x\vec{a} + 17\vec{b}\)
- \(\vec{q} = 3\vec{a} - \vec{b}\)
- \(|\vec{a}| = 2\)
- \(|\vec{b}| = 5\)
- угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(120^\circ\)
- \(x\)
- при котором \(\vec{p} \perp \vec{q}\)
-
\(\vec{a}^{\,2} = 4\), \(\vec{b}^{\,2} = 25\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = -5\).
-
Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 3x\vec{a}^{\,2} - x\,\vec{a} \cdot \vec{b} + 51\,\vec{a} \cdot \vec{b} - 17\vec{b}^{\,2} = 12x + 5x - 255 - 425 = 17x - 680\).
-
\(17x - 680 = 0\), \(x = 40\). При этом \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) ненулевые (\(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны).
Ответ
Условие перпендикулярности — нулевое скалярное произведение; раскрыв скобки, получаем линейное уравнение относительно x.
Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».