Задача 1
В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(AC = BC\)
- \(AM\) и \(BN\) — медианы (\(M\) — середина \(BC\)
- \(N\) — середина \(AC\))
- острый угол между \(AM\) и \(BN\)
-
Введём координаты: \(C(0; 0)\), \(A(2; 0)\), \(B(0; 2)\) (угол не зависит от длины катетов, поэтому возьмём катеты по 2). Тогда \(M(0; 1)\), \(N(1; 0)\).
-
\(\overrightarrow{AM}\{-2; 1\}\), \(\overrightarrow{BN}\{1; -2\}\), \(|\overrightarrow{AM}| = |\overrightarrow{BN}| = \sqrt{5}\).
-
\(\cos\varphi = \dfrac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{BN}|} = \dfrac{-2 - 2}{5} = -\dfrac{4}{5}\). Угол между векторами тупой, а острый угол между прямыми — смежный с ним: его косинус \(\dfrac{4}{5}\).
-
\(\arccos 0{,}8 \approx 36^\circ 52'\).
В ответах учебника указано \(36^\circ 51'\); более точное значение \(36^\circ 52'\) (угол равен \(36{,}87^\circ\)).
Ответ
В координатах медианы задаются векторами, косинус угла между ними — через скалярное произведение; для острого угла берут модуль косинуса.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».