Задача 1
Трапеция ABCD, основания AD = 16 см, BC = 8 см, боковая сторона 4√7 см, ∠ADC = 60°. Прямая l через C делит трапецию на две равновеликие части. Найдите площадь трапеции и длину отрезка l внутри неё.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(AD = 16\) см
- \(BC = 8\) см
- \(AB = 4\sqrt{7}\) см
- \(\angle ADC = 60^\circ\); прямая \(l\) проходит через \(C\) и делит трапецию на две равновеликие части
- \(S_{ABCD}\) и длину отрезка \(l\) внутри трапеции
-
Боковая сторона \(4\sqrt{7}\) — это \(AB\): угол \(60^\circ\) дан при вершине \(D\), а сторона \(CD\) из него найдётся. Проведём \(CK \parallel AB\), \(K\) на \(AD\). \(ABCK\) — параллелограмм: \(AK = BC = 8\), \(CK = AB = 4\sqrt{7}\), \(KD = 16 - 8 = 8\).
-
В \(\triangle CKD\) по теореме косинусов \(CK^2 = KD^2 + CD^2 - 2 \cdot KD \cdot CD\cos 60^\circ\); при \(CD = x\): \(112 = 64 + x^2 - 8x\), то есть \(x^2 - 8x - 48 = 0\), \(x = 12\) (корень \(-4\) не подходит). \(CD = 12\) см.
-
Высота трапеции \(h = CD\sin 60^\circ = 6\sqrt{3}\) см, \(S_{ABCD} = \dfrac{16 + 8}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\) см².
-
Каждая часть имеет площадь \(36\sqrt{3}\) см². Если бы \(l\) пересекала \(AB\), отсекаемый треугольник с вершинами \(C\), \(B\) имел бы площадь не больше \(S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\) — мало. Значит, \(l\) пересекает \(AD\) в точке \(M\), и \(S_{CMD} = \dfrac{1}{2}MD \cdot h = 36\sqrt{3}\), откуда \(MD = 12\) см.
-
В \(\triangle CMD\): \(MD = CD = 12\), \(\angle D = 60^\circ\), значит, он равносторонний и \(CM = 12\) см (по теореме косинусов \(CM^2 = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot \dfrac{1}{2} = 144\)).
Ответ
Перенос боковой стороны AB в точку C даёт треугольник, где по теореме косинусов находится CD, а с ним высота; равновеликая часть — треугольник CMD.
Подробнее — в теме «Теорема косинусов».