Задача 1
В треугольнике ABC, площадь которого равна 3√3, угол A острый, AB = 4√3, AC = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(S = 3\sqrt{3}\)
- \(\angle A\) острый
- \(AB = 4\sqrt{3}\)
- \(AC = 3\)
- радиус \(R\) описанной окружности
-
По теореме о площади \(S = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3\sin A = 6\sqrt{3}\sin A\). Из \(6\sqrt{3}\sin A = 3\sqrt{3}\) получаем \(\sin A = \dfrac{1}{2}\), а так как угол \(A\) острый, \(\angle A = 30^\circ\).
-
По теореме косинусов \(BC^2 = 48 + 9 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 57 - 36 = 21\), \(BC = \sqrt{21}\).
-
По теореме синусов \(\dfrac{BC}{\sin A} = 2R\), поэтому \(R = \dfrac{\sqrt{21}}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = \sqrt{21}\).
Ответ
Площадь даёт синус угла A, теорема косинусов — противолежащую сторону, а отношение стороны к синусу противолежащего угла равно 2R.
Подробнее — в теме «Теорема синусов».