Задача 1
Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, ∠NMQ = 4α, FQ = a. Найдите площадь ромба.
Решение
- \(MNPQ\) — ромб
- \(\angle NMQ = 4\alpha\)
- \(MF\) — биссектриса \(\triangle MPQ\) (\(F\) на \(PQ\))
- \(FQ = a\)
- \(S_{MNPQ}\)
-
Диагональ ромба \(MP\) — биссектриса угла \(M\), поэтому \(\angle PMQ = 2\alpha\), а \(\angle FMQ = \alpha\).
-
\(\angle MQP = 180^\circ - 4\alpha\) (соседние углы ромба в сумме \(180^\circ\)). В \(\triangle MFQ\): \(\angle MFQ = 180^\circ - \alpha - (180^\circ - 4\alpha) = 3\alpha\).
-
По теореме синусов в \(\triangle MFQ\): \(\dfrac{MQ}{\sin 3\alpha} = \dfrac{FQ}{\sin\alpha}\), откуда сторона ромба \(MQ = \dfrac{a\sin 3\alpha}{\sin\alpha}\).
-
Ромб — параллелограмм, его площадь равна произведению соседних сторон на синус угла между ними: \(S = MQ^2\sin 4\alpha = \dfrac{a^2\sin^2 3\alpha\,\sin 4\alpha}{\sin^2\alpha}\).
Ответ
Сторону ромба находят по теореме синусов из треугольника, отсечённого биссектрисой, а площадь — как квадрат стороны на синус угла ромба.
Подробнее — в теме «Теорема синусов».