Задача 1
Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC, BM = k·MC. Докажите, что (1 + k)²·AM² = k²b² + 2bck·cos A + c², где b = AC, c = AB (в учебнике дано решение).
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(M\) на стороне \(BC\), \(BM = k \cdot MC\), \(b = AC\), \(c = AB\). Доказать: \((1 + k)^2 AM^2 = k^2b^2 + 2bck\cos A + c^2\).
-
Векторы \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{MC}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{BM} = k\overrightarrow{MC}\). Так как \(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}\), получаем \(\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC} - k\overrightarrow{AM}\).
-
Отсюда \((1 + k)\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AC}\).
-
Возведём обе части в скалярный квадрат: \((1 + k)^2\,\overrightarrow{AM}^{\,2} = \overrightarrow{AB}^{\,2} + 2k\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + k^2\,\overrightarrow{AC}^{\,2}\).
-
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: \(\overrightarrow{AM}^{\,2} = AM^2\), \(\overrightarrow{AB}^{\,2} = c^2\), \(\overrightarrow{AC}^{\,2} = b^2\). Угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен углу \(A\), поэтому \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = bc\cos A\).
-
Подставив, получаем \((1 + k)^2 AM^2 = c^2 + 2bck\cos A + k^2b^2\), что и требовалось.
Ответ
Вектор AM выражается через AB и AC, а квадрат его длины — через скалярный квадрат этого выражения.
Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».