Задача 1
Четырёхугольник ABCD задан координатами вершин A(−1; 2), B(1; −2), C(2; 0), D(1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь.
Решение
- \(A(-1; 2)\)
- \(B(1; -2)\)
- \(C(2; 0)\)
- \(D(1; 6)\). Доказать: \(ABCD\) — трапеция
- \(S_{ABCD}\)
-
\(\overrightarrow{BC}\{1; 2\}\), \(\overrightarrow{AD}\{2; 4\}\), то есть \(\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC}\): векторы сонаправлены, \(BC \parallel AD\) и \(AD = 2BC\). Точка \(B\) не лежит на прямой \(AD\) (\(\overrightarrow{AB}\{2; -4\}\) не коллинеарен \(\overrightarrow{AD}\), так как \(\dfrac{2}{2} \ne \dfrac{-4}{4}\)), поэтому прямые \(BC\) и \(AD\) различны.
-
\(\overrightarrow{AB}\{2; -4\}\), \(\overrightarrow{DC}\{1; -6\}\) не коллинеарны (\(\dfrac{2}{1} \ne \dfrac{-4}{-6}\)), значит, \(AB \nparallel CD\). Четырёхугольник с одной парой параллельных противоположных сторон (а при сонаправленных \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) он не самопересекающийся) — трапеция с основаниями \(BC = \sqrt{5}\) и \(AD = 2\sqrt{5}\).
-
Высота — расстояние от \(A\) до прямой \(BC\). Проекция вектора \(\overrightarrow{BA}\{-2; 4\}\) на направление \(\overrightarrow{BC}\) равна \(\dfrac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|} = \dfrac{-2 + 8}{\sqrt{5}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}}\). По теореме Пифагора \(h^2 = BA^2 - \dfrac{36}{5} = 20 - \dfrac{36}{5} = \dfrac{64}{5}\), \(h = \dfrac{8}{\sqrt{5}}\).
-
\(S = \dfrac{\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{2} \cdot \dfrac{8}{\sqrt{5}} = \dfrac{3}{2} \cdot 8 = 12\).
Ответ
Параллельность сторон проверяется коллинеарностью векторов, а высоту даёт скалярное произведение — через проекцию боковой стороны на основание.
Подробнее — в теме «Скалярное произведение в координатах».