Задача 1
Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AC \perp BD\). Доказать: \(ABCD\) — ромб.
-
Обозначим \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{AD}\). По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}\), а \(\overrightarrow{DB} = \vec{a} - \vec{b}\).
-
Диагонали перпендикулярны, поэтому \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0\), то есть \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}^{\,2} - \vec{b}^{\,2} = 0\).
-
Значит, \(|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2\), то есть \(AB = AD\). У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому все четыре стороны равны и \(ABCD\) — ромб.
Ответ
Скалярное произведение суммы и разности векторов-сторон равно разности квадратов их длин; при перпендикулярных диагоналях оно нулевое.
Подробнее — в теме «Угол между векторами. Скалярное произведение».