Задание 1166

Дано: \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2\) с коэффициентом \(k\), \(R_1\), \(R_2\) — радиусы описанных окружностей. Доказать: \(\dfrac{R_1}{R_2} = k\).

1. У подобных треугольников соответственные углы равны: \(\angle A_1 = \angle A_2\), а \(B_1C_1 = k \cdot B_2C_2\).

2. По теореме синусов \(2R_1 = \dfrac{B_1C_1}{\sin A_1}\), \(2R_2 = \dfrac{B_2C_2}{\sin A_2}\).

3. Делим: \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{B_1C_1}{B_2C_2} \cdot \dfrac{\sin A_2}{\sin A_1} = k \cdot 1 = k\).

Дано: \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2\) с коэффициентом \(k\), \(O_1\), \(O_2\) — центры вписанных окружностей, \(r_1\), \(r_2\) — их радиусы. Доказать: \(\dfrac{r_1}{r_2} = k\).

1. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, поэтому \(\angle O_1A_1B_1 = \dfrac{1}{2}\angle A_1\), \(\angle O_1B_1A_1 = \dfrac{1}{2}\angle B_1\), и так же во втором треугольнике. Углы подобных треугольников равны, значит, \(\triangle A_1O_1B_1 \sim \triangle A_2O_2B_2\) по двум углам.

2. Коэффициент этого подобия равен \(\dfrac{A_1B_1}{A_2B_2} = k\).

3. Радиус \(r_1\) — высота \(\triangle A_1O_1B_1\), проведённая из \(O_1\) (окружность касается \(A_1B_1\), радиус в точку касания перпендикулярен стороне); \(r_2\) — соответственная высота \(\triangle A_2O_2B_2\).

4. В подобных треугольниках соответственные высоты относятся как коэффициент подобия, поэтому \(\dfrac{r_1}{r_2} = k\). (Иначе: \(r = A_1O_1 \sin\dfrac{A_1}{2}\), а по теореме синусов \(A_1O_1 = \dfrac{A_1B_1\sin\frac{B_1}{2}}{\sin\angle A_1O_1B_1}\) — множители с углами одинаковы у обоих треугольников, и остаётся отношение \(\dfrac{A_1B_1}{A_2B_2}\).)