Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1221

Дополнительные задачи к главе XIII

Задача 1

Условие (кратко)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен 18°?

Решение

Дано

правильный $$n$$ -угольник
внешний угол $18^\circ$

Найти

$$n$$

Внешний угол равен $180^\circ$ минус внутренний. У правильного многоугольника все внутренние углы равны, значит, равны и все внешние.
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) равна $n \cdot 180^\circ - (n - 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$ .
$n = \dfrac{360^\circ}{18^\circ} = 20$ .

Ответ

Почему так

Внешние углы правильного многоугольника равны, а их сумма всегда 360°, поэтому n равно 360°, делённым на внешний угол.

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Задача 2

Условие (кратко)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен 40°?

Решение

Дано

правильный $$n$$ -угольник
внешний угол $40^\circ$

Найти

$$n$$

Все внешние углы правильного многоугольника равны, а их сумма равна $360^\circ$ . Поэтому $n = \dfrac{360^\circ}{40^\circ} = 9$ .

Ответ

Почему так

Сумма внешних углов многоугольника равна 360°, все они равны, поэтому n = 360°/40°.

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Задача 3

Условие (кратко)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен 72°?

Решение

Дано

правильный $$n$$ -угольник
внешний угол $72^\circ$

Найти

$$n$$

Все внешние углы равны, их сумма $360^\circ$ , поэтому $n = \dfrac{360^\circ}{72^\circ} = 5$ — это правильный пятиугольник.

Ответ

Почему так

Сумма внешних углов многоугольника равна 360°, все они равны, поэтому n = 360°/72°.

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Задача 4

Условие (кратко)

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен 60°?

Решение

Дано

правильный $$n$$ -угольник
внешний угол $60^\circ$

Найти

$$n$$

Все внешние углы равны, их сумма $360^\circ$ , поэтому $n = \dfrac{360^\circ}{60^\circ} = 6$ — это правильный шестиугольник (его внутренний угол $120^\circ$ ).

Ответ

Почему так

Сумма внешних углов многоугольника равна 360°, все они равны, поэтому n = 360°/60°.

Подробнее — в теме «Правильные многоугольники».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-13/upr-1221/