Коротко о главном
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Около него всегда можно описать окружность и в него можно вписать окружность, причём центр у них общий.
Подробное объяснение
Посмотрите на соты, гайку или знак «Стоп». Шестиугольник сот, шестигранник гайки, восьмиугольник знака — у всех стороны одинаковые и углы одинаковые. Такие фигуры называют правильными многоугольниками.
Определение
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Нужны оба условия сразу:
- ромб с углом \(60^\circ\) — стороны равны, а углы нет, он не правильный;
- прямоугольник \(2 \times 5\) — углы равны, а стороны нет, тоже не правильный.
Самые простые правильные многоугольники — равносторонний треугольник и квадрат. Только для треугольника хватает одного условия: если равны стороны, равны и углы, и наоборот.
Угол правильного n-угольника
Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна \((n - 2) \cdot 180^\circ\). У правильного все \(n\) углов одинаковые, поэтому каждый равен
Например, \(\alpha_5 = 108^\circ\), \(\alpha_6 = 120^\circ\), \(\alpha_8 = 135^\circ\). Внешний угол равен \(180^\circ - \alpha_n = \dfrac{360^\circ}{n}\), а сумма внешних углов (по одному при вершине) всегда \(360^\circ\). Через внешний угол удобно находить число сторон: \(n = 360^\circ : (180^\circ - \alpha_n)\).
Описанная окружность
Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Идея доказательства. Проведём биссектрисы двух соседних углов \(A_1\) и \(A_2\), они пересекутся в точке \(O\). Половинки равных углов равны, поэтому треугольник \(OA_1A_2\) равнобедренный, \(OA_1 = OA_2\). Дальше треугольники \(OA_1A_2\) и \(OA_2A_3\) равны по двум сторонам и углу между ними, так что \(OA_3 = OA_1\). Шаг за шагом получаем \(OA_1 = OA_2 = \ldots = OA_n\) — точка \(O\) равноудалена от всех вершин. Единственность: через три вершины проходит только одна окружность.
Попутно выяснилось важное: все треугольники \(OA_1A_2\), \(OA_2A_3\), … равны. Значит, равны и центральные углы, опирающиеся на стороны: каждый \(\dfrac{360^\circ}{n}\). Вершины делят описанную окружность на \(n\) равных дуг.
Вписанная окружность
Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Высоты равных треугольников \(OA_1A_2\), \(OA_2A_3\), …, проведённые из \(O\), равны: \(OH_1 = OH_2 = \ldots\) Значит, точка \(O\) одинаково удалена от всех сторон, и окружность с центром \(O\) радиуса \(OH_1\) касается каждой стороны. Другой вписанной окружности нет: её центр тоже лежал бы на всех биссектрисах, то есть совпал бы с \(O\).
Из этого два следствия:
- Вписанная окружность касается сторон в их серединах (высота равнобедренного треугольника \(OA_1A_2\) — это и медиана).
- Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника. Через неё проходят все биссектрисы углов и все серединные перпендикуляры к сторонам.
Как решать задачи
- Проверьте, что многоугольник действительно правильный: выпуклый, стороны равны, углы равны.
- Угол ищите по формуле \(\alpha_n = \dfrac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ\), число сторон — через внешний угол \(\dfrac{360^\circ}{n}\).
- Если в задаче есть окружность, соедините центр с вершинами: получатся \(n\) равных равнобедренных треугольников с углом \(\dfrac{360^\circ}{n}\) при центре.
- Вписанные углы считайте по дугам: каждая сторона стягивает дугу \(\dfrac{360^\circ}{n}\).
Разобранные примеры
Угол правильного пятнадцатиугольника
Найдите угол правильного 15-угольника и его внешний угол.
- правильный многоугольник
- \(n = 15\)
- \(\alpha_{15}\) и внешний угол
Внешний угол \(180^\circ - 156^\circ = 24^\circ\). Проверка: \(360^\circ : 15 = 24^\circ\).
Число сторон по дуге
Правильный многоугольник вписан в окружность, его сторона стягивает дугу \(24^\circ\). Сколько у него сторон и чему равен его угол?
- дуга
- стягиваемая стороной
- \(24^\circ\)
- \(n\) и \(\alpha_n\)
Вершины правильного многоугольника делят описанную окружность на \(n\) равных дуг, поэтому \(n = 360^\circ : 24^\circ = 15\).
Угол многоугольника \(\alpha_{15} = 156^\circ\) (см. предыдущий пример). Его можно найти и как вписанный угол: он опирается на дугу из \(13\) таких дуг, \(\dfrac{13 \cdot 24^\circ}{2} = 156^\circ\).
Угол между диагоналями восьмиугольника
\(A_1A_2 \ldots A_8\) — правильный восьмиугольник. Найдите угол \(A_2A_1A_4\).
- правильный восьмиугольник
- \(\angle A_2A_1A_4\)
Опишем около восьмиугольника окружность. Вершины делят её на 8 дуг по \(360^\circ : 8 = 45^\circ\). Угол \(A_2A_1A_4\) вписанный и опирается на дугу \(A_2A_4\), не содержащую \(A_1\). В ней две дуги по \(45^\circ\), то есть \(90^\circ\). Вписанный угол равен половине дуги: \(45^\circ\).
Типичные ошибки
Равных сторон мало. Ромб с углом \(60^\circ\) имеет четыре равные стороны, но углы у него \(60^\circ\) и \(120^\circ\).
Проверяйте два условия: все стороны равны и все углы равны (и многоугольник выпуклый). Исключение — треугольник: у него одно условие влечёт другое.
Пишут \(\alpha_n = \dfrac{180^\circ}{n}\) или \(\dfrac{360^\circ}{n}\). Но \(\dfrac{360^\circ}{n}\) — это внешний угол (и центральный угол), а не внутренний.
Внутренний угол — сумма всех углов \((n - 2) \cdot 180^\circ\), делённая на \(n\). Для проверки: у квадрата должно выйти \(90^\circ\), у шестиугольника — \(120^\circ\).
Вершины лежат на описанной окружности. Вписанная окружность проходит внутри и вершин не касается.
Вписанная окружность касается сторон в их серединах, её радиус — перпендикуляр из центра на сторону. Радиус описанной — отрезок от центра до вершины, он длиннее.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой из многоугольников правильный?
Показать ответ
Ответ: В) Квадрат
У правильного многоугольника равны и все стороны, и все углы. Из перечисленных это только квадрат.
-
Найдите в градусах угол правильного восьмиугольника.
Показать ответ
Ответ: 135
\(\alpha_8 = \dfrac{8 - 2}{8} \cdot 180^\circ = 135^\circ\).
-
Какие утверждения верны для любого правильного многоугольника?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Около него можно описать окружность; Б) В него можно вписать окружность; В) Центры вписанной и описанной окружностей совпадают
Обе окружности существуют, они единственны и имеют общий центр. Вписанная окружность касается сторон в их серединах, а не в вершинах.
-
Сколько сторон у правильного многоугольника, если его внешний угол равен 24°?
Показать ответ
Ответ: 15
Сумма внешних углов \(360^\circ\), поэтому \(n = 360 : 24 = 15\).
-
Через какую точку проходят биссектрисы всех углов правильного многоугольника?
Показать ответ
Ответ: Б) Через центр многоугольника
Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон, поэтому лежит на каждой биссектрисе; он же центр описанной окружности.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите угол правильного девятиугольника.
Подсказка
Сумма углов n-угольника равна (n − 2)·180°, а все углы равны.
Решение
\(\alpha_9 = \dfrac{9 - 2}{9} \cdot 180^\circ = 7 \cdot 20^\circ = 140^\circ\).
Ответ
Найдите внешний угол правильного двенадцатиугольника.
Подсказка
Сумма внешних углов (по одному при вершине) любого выпуклого многоугольника равна 360°.
Решение
Все внешние углы равны, их двенадцать, сумма \(360^\circ\). Каждый равен \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). Проверка — внутренний угол \(\dfrac{10}{12} \cdot 180^\circ = 150^\circ\), и \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).
Ответ
Каждый угол правильного многоугольника равен \(162^\circ\). Сколько у него сторон?
Подсказка
Найдите сначала внешний угол.
Решение
Внешний угол \(180^\circ - 162^\circ = 18^\circ\). Внешние углы в сумме дают \(360^\circ\), поэтому \(n = 360^\circ : 18^\circ = 20\).
Ответ
Сторона правильного многоугольника видна из центра описанной окружности под углом \(40^\circ\). Сколько у многоугольника сторон и чему равен его угол?
Подсказка
Центральные углы, опирающиеся на стороны, равны и вместе составляют 360°.
Решение
Центральные углы \(\angle A_1OA_2 = \angle A_2OA_3 = \ldots\) равны (треугольники \(OA_1A_2\), \(OA_2A_3\), … равны по трём сторонам) и в сумме дают \(360^\circ\). Значит, \(n = 360^\circ : 40^\circ = 9\). Угол девятиугольника \(\dfrac{7}{9} \cdot 180^\circ = 140^\circ\).
Ответ
Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен \(100^\circ\)?
Подсказка
Выразите число сторон через внешний угол и проверьте, целое ли оно.
Решение
Внешний угол был бы \(180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\), тогда \(n = 360^\circ : 80^\circ = 4{,}5\). Число сторон должно быть целым, поэтому такого многоугольника нет.
Ответ
\(ABCDEF\) — правильный шестиугольник. Найдите угол \(CAD\).
Подсказка
Опишите около шестиугольника окружность и воспользуйтесь вписанным углом.
Решение
Около правильного шестиугольника можно описать окружность. Его вершины делят её на 6 равных дуг по \(60^\circ\). Угол \(CAD\) — вписанный и опирается на дугу \(CD\) в \(60^\circ\), поэтому равен \(30^\circ\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите гайку, плитку или вырежьте из бумаги квадрат и ромб. Спросите, чем они различаются, если стороны одинаковые. Затем нарисуйте шестиугольник в окружности: вершины на окружности — это описанная окружность, кружок внутри, касающийся сторон, — вписанная. Покажите, что у обеих один центр.
Вопросы для проверки понимания: 1) Правильный ли ромб с углом 60°? 2) Чему равен угол правильного шестиугольника? 3) В каких точках вписанная окружность касается сторон?
На что обратить внимание. Ребёнок должен различать внутренний угол \(\dfrac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ\) и внешний (центральный) угол \(\dfrac{360^\circ}{n}\) и помнить, что в правильном многоугольнике равны и стороны, и углы.