Задача 1
Условие (кратко)
На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
Решение
Дано
- правильный треугольник вписан в окружность радиуса \(R = 3\) дм
- на его стороне построен квадрат
Найти
- радиус \(R_4\) окружности
- описанной около квадрата
-
Сторона правильного треугольника через радиус описанной окружности: \(a_3 = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) дм.
-
Сторона квадрата тоже \(a = 3\sqrt{3}\) дм. Для квадрата \(a = R_4\sqrt{2}\), поэтому
\[R_4 = \dfrac{a}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \text{ дм}.\]
Ответ
3√6/2 дм ≈ 3,67 дм
Почему так
Сторона правильного n-угольника связана с радиусом описанной окружности формулой aₙ = 2R·sin(180°/n): a₃ = R√3, a₄ = R√2.
Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».