Какие равенства верны для правильного многоугольника?

Сторона aₙ = 2R·sin(180°/n)

Радиус r = R·cos(180°/n)

Площадь и сторона правильного многоугольника

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Правильные многоугольники

Коротко о главном

Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. Сторону и радиус вписанной окружности выражают через радиус описанной.

S = \frac{1}{2}Pr, \qquad a_n = 2R\sin\frac{180^\circ}{n}, \qquad r = R\cos\frac{180^\circ}{n}

Подробное объяснение

Нужно выпилить шестиугольную плитку, вписанную в круг заданного радиуса. Какой длины будут стороны и сколько материала уйдёт? Отвечают на это три формулы. Все они получаются из одного маленького прямоугольного треугольника.

Обозначения

У правильного $$n$$ -угольника: $$a_n$$ — сторона, $$P = n a_n$$ — периметр, $$S$$ — площадь, $$R$$ — радиус описанной окружности (от центра до вершины), $$r$$ — радиус вписанной окружности (от центра до середины стороны).

Площадь: S = Pr/2

Соединим центр $$O$$ со всеми вершинами. Многоугольник разрежется на $$n$$ равных треугольников. У каждого основание $$a_n$$ , а высота, проведённая из $$O$$ , — радиус вписанной окружности $$r$$ . Площадь одного треугольника $\dfrac{1}{2}a_n r$ , всех вместе

S = n \cdot \frac{1}{2}a_n r = \frac{1}{2}(n a_n) r = \frac{1}{2}Pr.

Сторона и радиус вписанной окружности через R

Возьмём один такой треугольник $$OA_1A_2$$ и проведём высоту $$OH_1$$ . Она же медиана и биссектриса, поэтому $A_1H_1 = \dfrac{a_n}{2}$ , а угол $$A_1OH_1$$ — половина центрального угла $\dfrac{360^\circ}{n}$ , то есть $\dfrac{180^\circ}{n}$ .

Равнобедренный треугольник OA1A2 с вершиной в центре правильного n-угольника. Высота OH1 = r, боковая сторона OA1 = R, половина стороны A1H1 = an/2, угол A1OH1 равен 180°/n. — Из прямоугольного треугольника OA1H1 получаются формулы an = 2R·sin(180°/n) и r = R·cos(180°/n).

В прямоугольном треугольнике $$OA_1H_1$$ гипотенуза $$OA_1 = R$$ . Противолежащий углу $\dfrac{180^\circ}{n}$ катет — $\dfrac{a_n}{2}$ , прилежащий — $$r$$ . Отсюда

a_n = 2R\sin\frac{180^\circ}{n}, \qquad r = R\cos\frac{180^\circ}{n}.

Если поделить одно на другое, получится полезная формула стороны через $$r$$ : $a_n = 2r\,\mathrm{tg}\dfrac{180^\circ}{n}$ .

Три главных случая

Многоугольник	Сторона через $$R$$	$$r$$ через $$R$$
Треугольник, $$n = 3$$	$a_3 = R\sqrt{3}$	$r = \dfrac{R}{2}$
Квадрат, $$n = 4$$	$a_4 = R\sqrt{2}$	$r = \dfrac{R\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a_4}{2}$
Шестиугольник, $$n = 6$$	$$a_6 = R$$	$r = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

Их стоит помнить: в задачах они встречаются чаще всего. Например, у правильного треугольника $$R = 2r$$ , у квадрата сторона равна диаметру вписанной окружности, а шестиугольник складывается из шести равносторонних треугольников со стороной $$R$$ .

Как решать задачи

Выпишите, что дано: $$n$$ и одна из величин $$a_n$$ , $$P$$ , $$R$$ , $$r$$ или $$S$$ .
Найдите $$R$$ : из $a_n = 2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$ или $r = R\cos\dfrac{180^\circ}{n}$ . Для $$n = 3, 4, 6$$ используйте готовые формулы из таблицы.
Через $$R$$ найдите остальные: $$a_n$$ , $$r$$ , $$P = n a_n$$ .
Площадь — по формуле $S = \dfrac{1}{2}Pr$ (для квадрата проще $$a^2$$ , для треугольника $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ ).
Если две фигуры связаны одной окружностью («вписаны в одну окружность», «описаны около одной окружности»), общий радиус — мостик между ними.

Разобранные примеры

База

Сторона и площадь квадрата по радиусу

Условие

Квадрат вписан в окружность радиуса 5 см. Найдите его сторону, радиус вписанной окружности и площадь.

Дано

$$n = 4$$
$$R = 5$$ см

Найти

$$a_4$$
$$r$$
$$S$$

Решение

$a_4 = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ см, $r = \dfrac{a_4}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54$ см.

$S = a_4^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$ см². Проверим формулой $S = \dfrac{1}{2}Pr$ : $\dfrac{1}{2} \cdot 20\sqrt{2} \cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = 50$ см².

Ответ: a₄ = 5√2 см, r = 2,5√2 см, S = 50 см²

Средний

Треугольник и шестиугольник в одной окружности

Условие

В окружность вписаны правильный треугольник со стороной 6 см и правильный шестиугольник. Найдите сторону шестиугольника.

Дано

$$a_3 = 6$$ см
треугольник и шестиугольник вписаны в одну окружность

Найти

$$a_6$$

Решение

Из $a_3 = R\sqrt{3}$ : $R = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. У шестиугольника $a_6 = R = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ см.

Ответ: 2√3 см ≈ 3,46 см

Сложный

Площадь двенадцатиугольника

Условие

Правильный двенадцатиугольник вписан в окружность радиуса 4 см. Найдите его площадь.

Дано

$$n = 12$$
$$R = 4$$ см

Найти

$$S$$

Решение

По формуле $S = \dfrac{1}{2}Pr$ получаем $S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2R\sin 15^\circ \cdot R\cos 15^\circ = 12R^2\sin 15^\circ\cos 15^\circ$ . Синус и косинус $15^\circ$ не табличные, поэтому удобнее посчитать иначе.

Соединим центр $$O$$ с вершинами: получится 12 равных треугольников с боковыми сторонами $$R$$ и углом $360^\circ : 12 = 30^\circ$ при вершине $$O$$ . Площадь каждого — по теореме о площади треугольника:

S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}^2.

Площадь двенадцатиугольника $S = 12 \cdot 4 = 48$ см².

Ответ: 48 см²

Типичные ошибки

Забывают коэффициент 1/2 в формуле площади

Почему неверно

Пишут $$S = Pr$$ — получают площадь вдвое больше. Многоугольник состоит из треугольников, а у треугольника площадь — половина произведения основания на высоту.

Как правильно

$S = \dfrac{1}{2}Pr$ . Проверка на квадрате со стороной 2: $$P = 8$$ , $$r = 1$$ , $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 1 = 4 = 2^2$ .

Берут угол 360°/n вместо 180°/n

Почему неверно

Центральный угол $\dfrac{360^\circ}{n}$ стоит в равнобедренном треугольнике $$OA_1A_2$$ , а синус и косинус берут в прямоугольном треугольнике $$OA_1H_1$$ , где угол вдвое меньше.

Как правильно

В формулах $a_n = 2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$ и $r = R\cos\dfrac{180^\circ}{n}$ — половина центрального угла. Проверка: для шестиугольника $2R\sin 30^\circ = R$ , как и должно быть.

Путают R и r

Почему неверно

В условии «окружность, вписанная в многоугольник» — это $$r$$ , «описанная около многоугольника» — $$R$$ . Подставив не тот радиус, получают ответ с ошибкой в $\cos\dfrac{180^\circ}{n}$ раз.

Как правильно

$$R$$ — до вершины, $$r$$ — до середины стороны, и всегда $$r < R$$ . Перед подстановкой подпишите на чертеже, какой радиус дан.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Найдите его сторону и периметр.

Подсказка

У правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности.

Решение

$a_6 = 2R\sin 30^\circ = R = 5$ см, $P = 6 \cdot 5 = 30$ см.

Ответ

5 см и 30 см

База Задача 2

Сторона квадрата 8 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Подсказка

Из формулы a₄ = R√2 выразите R.

Решение

$R = \dfrac{a_4}{\sqrt{2}} = \dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ см. Это половина диагонали квадрата.

Ответ

4√2 см ≈ 5,66 см

Средний Задача 3

В правильный треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Найдите сторону треугольника.

Подсказка

Для треугольника r = R·cos60° = R/2.

Решение

$$R = 2r = 6$$ см, $a_3 = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$ см.

Ответ

6√3 см ≈ 10,39 см

Средний Задача 4

Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной 4 см.

Подсказка

Найдите радиус вписанной окружности и примените S = Pr/2.

Решение

$$R = a_6 = 4$$ см, $r = R\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}$ см, $$P = 24$$ см. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \approx 41{,}57$ см².

Ответ

24√3 см² ≈ 41,57 см²

Сложный Задача 5

Правильный восьмиугольник вписан в окружность радиуса 10 см. Найдите его площадь.

Подсказка

Подставьте aₙ и r из формул в S = Pr/2 и используйте 2·sin x·cos x = sin 2x — или сложите площади восьми треугольников с вершиной в центре.

Решение

Восьмиугольник делится на 8 равных треугольников $OA_kA_{k+1}$ с боковыми сторонами $$R = 10$$ см и углом $45^\circ$ при вершине $$O$$ . Площадь каждого $\dfrac{1}{2}R^2\sin 45^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2}$ см². $S = 8 \cdot 25\sqrt{2} = 200\sqrt{2} \approx 282{,}8$ см².

Ответ

200√2 см² ≈ 282,8 см²

Сложный Задача 6

Сторона правильного многоугольника равна радиусу вписанной в него окружности, умноженному на $$2$$ . Сколько у многоугольника сторон?

Подсказка

Выразите aₙ через r — aₙ = 2r·tg(180°/n).

Решение

Из $a_n = 2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$ и $r = R\cos\dfrac{180^\circ}{n}$ получаем $a_n = 2r\,\mathrm{tg}\dfrac{180^\circ}{n}$ . По условию $$a_n = 2r$$ , значит, $\mathrm{tg}\dfrac{180^\circ}{n} = 1$ , $\dfrac{180^\circ}{n} = 45^\circ$ , $$n = 4$$ . Это квадрат: его сторона равна диаметру вписанной окружности.

Ответ

4

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте шестиугольник в круге и разрежьте его (мысленно или ножницами из бумаги) на шесть треугольников от центра. Покажите, что площадь каждого — половина основания на высоту, высота у всех одна — радиус вписанной окружности. Отсюда $S = \dfrac{1}{2}Pr$ . Потом циркулем, не меняя раствора, пройдите по окружности шесть шагов — сторона шестиугольника равна радиусу.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равна сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса 1? 2) Почему в формуле стороны стоит угол 180°/n, а не 360°/n? 3) Как найти площадь, если известны периметр и радиус вписанной окружности?

На что обратить внимание. Таблицу для $$n = 3, 4, 6$$ стоит выучить наизусть, а остальное ребёнок должен уметь вывести из одного прямоугольного треугольника с гипотенузой $$R$$ .

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 116	1176, 1177, 1178, 1179, 1180, 1181, 1182, 1183, 1184, 1185, 1186, 1187, 1188

Многоугольник	Сторона через $\(R\)$	$\(r\)$ через $\(R\)$
Треугольник, $\(n = 3\)$	$a_3 = R\sqrt{3}$	$r = \dfrac{R}{2}$
Квадрат, $\(n = 4\)$	$a_4 = R\sqrt{2}$	$r = \dfrac{R\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a_4}{2}$
Шестиугольник, $\(n = 6\)$	$\(a_6 = R\)$	$r = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$