Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1224

Дополнительные задачи к главе XIII

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата, вписанных в одну и ту же окружность.

Решение

Дано

правильный треугольник и квадрат вписаны в окружность радиуса $$R$$

Найти

$$P_3 : P_4$$

$a_3 = R\sqrt{3}$ , $P_3 = 3R\sqrt{3}$ .
$a_4 = R\sqrt{2}$ , $P_4 = 4R\sqrt{2}$ .
$\dfrac{P_3}{P_4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{8}$ .

Ответ

3√6/8 ≈ 0,92

Почему так

Стороны вписанных правильных многоугольников выражаются через радиус R: a₃ = R√3, a₄ = R√2, поэтому R сокращается.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата, описанных около одной и той же окружности.

Решение

Дано

правильный треугольник и квадрат описаны около окружности радиуса $$r$$

Найти

$$P_3 : P_4$$

Для правильного $$n$$ -угольника $a_n = 2r \operatorname{tg} \dfrac{180^\circ}{n}$ . Для треугольника $a_3 = 2r \operatorname{tg} 60^\circ = 2r\sqrt{3}$ , $P_3 = 6r\sqrt{3}$ .
Для квадрата $a_4 = 2r \operatorname{tg} 45^\circ = 2r$ , $$P_4 = 8r$$ .
$\dfrac{P_3}{P_4} = \dfrac{6\sqrt{3}}{8} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ .

Ответ

3√3/4 ≈ 1,30

Почему так

Сторона описанного правильного n-угольника равна 2r·tg(180°/n), поэтому радиус r в отношении сокращается.

Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-13/upr-1224/