Задание 1225

Дано: \(A_1A_2 \ldots A_{12}\) — правильный двенадцатиугольник, \(A_1A_6\) и \(A_2A_9\) пересекаются в точке \(B\). Доказать: \(\triangle A_1A_2B\) и \(\triangle A_6A_9B\) равносторонние.

1. Около правильного многоугольника можно описать окружность; его стороны стягивают равные дуги по \(360^\circ : 12 = 30^\circ\).

2. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. \(\angle A_2A_1A_6\) опирается на дугу \(A_2A_3A_4A_5A_6\) из четырёх дуг: \(4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\), значит, \(\angle BA_1A_2 = 60^\circ\).

3. \(\angle A_1A_2A_9\) опирается на дугу \(A_9A_{10}A_{11}A_{12}A_1\), тоже \(120^\circ\), значит, \(\angle BA_2A_1 = 60^\circ\). Тогда и третий угол треугольника \(A_1A_2B\) равен \(60^\circ\) — треугольник равносторонний.

4. Аналогично \(\angle A_1A_6A_9\) опирается на дугу \(A_9 \ldots A_1\) (\(120^\circ\)), а \(\angle A_6A_9A_2\) — на дугу \(A_2 \ldots A_6\) (\(120^\circ\)). Оба угла по \(60^\circ\), и \(\triangle A_6A_9B\) равносторонний.

Дано: \(A_1A_2 \ldots A_{12}\) — правильный двенадцатиугольник, \(r\) — радиус вписанной окружности. Доказать: \(A_1A_6 = 2r\).

1. Вершины делят описанную окружность на дуги по \(30^\circ\). Угол \(A_{12}A_1A_6\) вписанный и опирается на дугу \(A_6A_7 \ldots A_{12}\) из шести дуг, то есть на \(180^\circ\). Значит, \(\angle A_{12}A_1A_6 = 90^\circ\).

2. Так же \(\angle A_1A_6A_7\) опирается на дугу \(A_7 \ldots A_{12}A_1\) в \(180^\circ\) и равен \(90^\circ\).

3. Прямые \(A_{12}A_1\) и \(A_6A_7\) перпендикулярны одной прямой \(A_1A_6\), поэтому параллельны, а отрезок \(A_1A_6\) — расстояние между ними.

4. Вписанная окружность касается обеих сторон \(A_{12}A_1\) и \(A_6A_7\). Две различные параллельные касательные к окружности проходят через концы одного диаметра (радиусы в точки касания перпендикулярны общему направлению касательных и лежат на одной прямой), поэтому расстояние между ними равно \(2r\). Итак, \(A_1A_6 = 2r\).