Диагонали A₁A₄ и A₂A₇ правильного десятиугольника A₁A₂…A₁₀, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке B (рис. 356). Докажите, что A₂A₇ = 2R.
Решение
Дано: \(A_1A_2 \ldots A_{10}\) — правильный десятиугольник, вписанный в окружность с центром \(O\) радиуса \(R\). Доказать: \(A_2A_7 = 2R\).
Стороны стягивают равные дуги по \(360^\circ : 10 = 36^\circ\).
Дуга \(A_2A_3 \ldots A_7\) состоит из пяти таких дуг: \(5 \cdot 36^\circ = 180^\circ\). Хорда, стягивающая полуокружность, — диаметр.
Значит, \(A_2A_7 = 2R\), и центр \(O\) лежит на \(A_2A_7\).
Ответ
Утверждение доказано — A₂A₇ стягивает дугу 180°, то есть является диаметром
Почему так
Вершины правильного десятиугольника делят окружность на дуги по 36°, и A₂, A₇ оказываются диаметрально противоположными.
В условиях задачи о десятиугольнике (рис. 356; B — точка пересечения A₁A₄ и A₂A₇, O — центр) докажите, что △A₁A₂B и △BA₄O — подобные равнобедренные треугольники.
Решение
Дано: \(A_1A_2 \ldots A_{10}\) — правильный десятиугольник, \(O\) — центр описанной окружности, \(B = A_1A_4 \cap A_2A_7\). Доказать: \(\triangle A_1A_2B\) и \(\triangle BA_4O\) — подобные равнобедренные.
Каждая сторона стягивает дугу \(36^\circ\). \(\angle A_2A_1A_4\) опирается на дугу \(A_2A_3A_4\) в \(72^\circ\), поэтому \(\angle BA_1A_2 = 36^\circ\). \(\angle A_1A_2A_7\) опирается на дугу \(A_7A_8A_9A_{10}A_1\) в \(144^\circ\), поэтому \(\angle A_1A_2B = 72^\circ\). Тогда \(\angle A_1BA_2 = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ\). Углы при \(A_2\) и \(B\) равны — треугольник \(A_1A_2B\) равнобедренный, \(A_1B = A_1A_2\).
\(O\) лежит на \(A_2A_7\) (это диаметр). Треугольник \(OA_1A_4\) равнобедренный (\(OA_1 = OA_4 = R\)), центральный угол \(A_1OA_4 = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ\), поэтому \(\angle OA_4B = \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ\).
\(\angle A_4BO = \angle A_1BA_2 = 72^\circ\) как вертикальные. Тогда \(\angle BOA_4 = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ\), и треугольник \(BA_4O\) равнобедренный: \(A_4B = A_4O = R\).
Углы обоих треугольников \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\), поэтому они подобны по двум углам.
Ответ
Утверждение доказано — оба треугольника имеют углы 36°, 72°, 72°
Почему так
Углы находятся через вписанные и центральные углы, а треугольники с двумя равными углами подобны.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).