Задача 1
Квадрат A₁A₂A₃A₄ вписан в окружность радиуса R (рис. 357). На сторонах отмечены точки, A₁B₁ = A₂B₂ = … = A₄C₄ = R. Докажите, что восьмиугольник B₁C₃B₂C₄B₃C₁B₄C₂ правильный, и выразите его площадь через R.
Решение
- квадрат \(A_1A_2A_3A_4\) вписан в окружность радиуса \(R\); \(B_1, C_2 \in A_1A_2\)
- \(B_2, C_3 \in A_2A_3\)
- \(B_3, C_4 \in A_3A_4\)
- \(B_4, C_1 \in A_4A_1\); \(A_1B_1 = A_2B_2 = A_3B_3 = A_4B_4 = A_1C_1 = A_2C_2 = A_3C_3 = A_4C_4 = R\). Доказать: \(B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2\) — правильный восьмиугольник
- его площадь \(S\)
-
Сторона квадрата \(a = R\sqrt{2}\), причём \(R < a < 2R\).
-
У вершины \(A_2\): \(A_2B_1 = a - A_1B_1 = R\sqrt{2} - R\) и \(A_2C_3 = a - A_3C_3 = R\sqrt{2} - R\). Так же у каждой вершины квадрата отрезается равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \(R(\sqrt{2} - 1)\). Его гипотенуза, например \(B_1C_3 = R(\sqrt{2} - 1)\sqrt{2} = R(2 - \sqrt{2})\).
-
На стороне \(A_1A_2\) отрезки \(A_1B_1\) и \(A_2C_2\) длины \(R\) перекрываются по отрезку \(C_2B_1 = A_1B_1 + A_2C_2 - a = 2R - R\sqrt{2} = R(2 - \sqrt{2})\).
-
Все восемь сторон равны \(R(2 - \sqrt{2})\). Углы при отрезанных треугольниках \(45^\circ\), поэтому каждый угол восьмиугольника равен \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). Все стороны и все углы равны — восьмиугольник правильный.
-
Площадь: из квадрата вычитаем четыре треугольника:
\[S = 2R^2 - 4 \cdot \dfrac{1}{2}\bigl(R(\sqrt{2} - 1)\bigr)^2 = 2R^2 - 2R^2(3 - 2\sqrt{2}) = 4R^2(\sqrt{2} - 1).\]
Ответ
Восьмиугольник получается из квадрата отрезанием четырёх равных равнобедренных прямоугольных треугольников — у него равны все стороны и все углы.
Подробнее — в теме «Площадь и сторона правильного многоугольника».