Главная Учебники Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.) Дополнительные задачи к главе XIII Задание 1230
Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.
Задание 1230
Дополнительные задачи к главе XIII
Задача 1
Условие (кратко)
Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если диагонали ромба равны 6 см и 8 см.
Решение
Дано ромб диагонали \(d_1 = 6\) см \(d_2 = 8\) смНайти длину \(C\) вписанной окружности
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона \(a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) см.
Площадь \(S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = 24\) см². Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба: \(h = \dfrac{S}{a} = \dfrac{24}{5} = 4{,}8\) см, \(r = 2{,}4\) см.
\(C = 2\pi r = 4{,}8\pi \approx 15{,}1\) см.
Ответ
4,8π см ≈ 15,1 см
Почему так
Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба, а высоту даёт площадь, делённая на сторону.
Подробнее — в теме «Длина окружности» .
Задача 2
Условие (кратко)
Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если сторона ромба равна a и острый угол равен α.
Решение
Дано ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\) Найти длину \(C\) вписанной окружности
Высота ромба \(h = a \sin\alpha\) (катет прямоугольного треугольника с гипотенузой \(a\) , лежащий против угла \(\alpha\) ).
Вписанная окружность касается двух противоположных параллельных сторон, поэтому её диаметр равен высоте: \(2r = a\sin\alpha\) .
\(C = 2\pi r = \pi a \sin\alpha\) .
Ответ
C = πa·sin α
Почему так
Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба a·sin α.
Подробнее — в теме «Длина окружности» .
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-13/upr-1230/