Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Длина окружности пропорциональна радиусу: \(C = 2\pi R\), или \(C = \pi d\), где \(\pi \approx 3{,}14\). Длина дуги в \(\alpha\) градусов — такая же доля окружности, какую \(\alpha\) составляет от 360°:
Подробное объяснение
Как измерить длину круглого бортика клумбы или обода колеса? Можно обернуть его ниткой, а потом распрямить нитку и измерить её линейкой. Длина этого отрезка и есть длина окружности. Геометрия позволяет обойтись без нитки: длину окружности можно вычислить по радиусу.
Окружность как предел многоугольников
Впишем в окружность правильный многоугольник. Его периметр немного меньше длины окружности: каждая сторона-хорда короче своей дуги. Если удвоить число сторон, многоугольник плотнее прилегает к окружности и его периметр ближе к её длине. Длина окружности — это число, к которому приближается периметр правильного вписанного многоугольника, когда число его сторон неограниченно растёт.
Откуда берётся π
Возьмём две окружности радиусов \(R\) и \(R'\) и впишем в каждую правильный \(n\)-угольник. Сторона правильного \(n\)-угольника равна \(2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}\), поэтому периметры равны \(P_n = n \cdot 2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}\) и \(P'_n = n \cdot 2R'\sin\dfrac{180^\circ}{n}\). Отношение периметров \(\dfrac{P_n}{P'_n} = \dfrac{2R}{2R'}\) при любом \(n\). Увеличивая \(n\), получаем то же для длин окружностей: \(\dfrac{C}{C'} = \dfrac{2R}{2R'}\), то есть \(\dfrac{C}{2R} = \dfrac{C'}{2R'}\).
Значит, отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей. Это число обозначают греческой буквой \(\pi\) («пи»). Отсюда
Число \(\pi\) иррациональное: это бесконечная непериодическая десятичная дробь \(3{,}14159\ldots\) Ещё Архимед в III веке до н. э. нашёл приближение \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). В задачах обычно берут \(\pi \approx 3{,}14\). Если в условии не сказано, что считать приближённо, ответ удобно оставлять с \(\pi\): «\(6\pi\) см», а рядом писать приближённое значение.
Длина дуги
Дуга — часть окружности. Если вся окружность (360°) имеет длину \(2\pi R\), то дуга в 1° в 360 раз короче: \(\dfrac{2\pi R}{360} = \dfrac{\pi R}{180}\). Дуга в \(\alpha\) градусов в \(\alpha\) раз длиннее:
Градусная мера дуги равна центральному углу, который на неё опирается. Поэтому если известен центральный угол \(\angle AOB\), его градусы и подставляют вместо \(\alpha\). Проверка здравым смыслом: дуга в 180° — полуокружность, и формула даёт \(\pi R\), ровно половину от \(2\pi R\).
Как решать задачи
- Определите, что дано: радиус, диаметр, длина окружности или дуги, градусная мера дуги.
- Если дан диаметр — либо \(R = d/2\), либо сразу \(C = \pi d\).
- Для всей окружности — \(C = 2\pi R\); для дуги — \(l = \dfrac{\pi R \alpha}{180}\).
- Если неизвестен радиус или угол, выразите его из той же формулы: \(R = \dfrac{C}{2\pi}\), \(\alpha = \dfrac{180\,l}{\pi R}\).
- Запишите точный ответ с \(\pi\) и, если нужно, приближённый с \(\pi \approx 3{,}14\).
Разобранные примеры
Длина окружности по диаметру
Диаметр круглого стола 1,2 м. Какой длины нужна лента, чтобы обшить край стола? Ответ округлите до сотых.
- \(d = 1{,}2\) м
- \(C\)
\(C = \pi d = 1{,}2\pi \approx 1{,}2 \cdot 3{,}14 \approx 3{,}77\) м.
Длина дуги по центральному углу
Центральный угол \(\angle AOB\) окружности радиуса 15 см равен 72°. Найдите длину дуги \(AB\), на которую он опирается.
- \(R = 15\) см
- \(\alpha = 72^\circ\)
- \(l\)
Градусная мера дуги равна центральному углу, то есть 72°.
\(l = \dfrac{\pi R}{180} \cdot \alpha = \dfrac{\pi \cdot 15 \cdot 72}{180} = \dfrac{1080\pi}{180} = 6\pi \approx 18{,}8\) см.
Радиус по длине дуги
Дуга окружности в 150° имеет длину \(10\pi\) см. Найдите длину всей окружности и её радиус.
- \(\alpha = 150^\circ\)
- \(l = 10\pi\) см
- \(C\)
- \(R\)
- Дуга в 150° составляет \(\dfrac{150}{360} = \dfrac{5}{12}\) окружности.
- Тогда \(C = l \cdot \dfrac{12}{5} = 10\pi \cdot \dfrac{12}{5} = 24\pi\) см.
- \(R = \dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{24\pi}{2\pi} = 12\) см.
Проверка по формуле дуги: \(\dfrac{\pi \cdot 12 \cdot 150}{180} = 10\pi\) — верно.
Типичные ошибки
В формуле \(C = 2\pi R\) стоит радиус. Если подставить туда диаметр, ответ получится вдвое больше: для колеса диаметром 60 см выйдет \(120\pi\) см вместо \(60\pi\) см.
Смотрите, что дано. Дан диаметр — пользуйтесь \(C = \pi d\) или сначала найдите \(R = d/2\).
В формуле \(l = \dfrac{\pi R}{180} \cdot \alpha\) знаменатель 180 появился из \(\dfrac{2\pi R}{360}\). Если написать \(\dfrac{\pi R \alpha}{360}\), ответ будет вдвое меньше. Подставлять \(\alpha\) нужно именно в градусах, а не долю окружности.
Рассуждайте через долю: дуга в \(\alpha^\circ\) — это \(\dfrac{\alpha}{360}\) всей окружности, \(l = 2\pi R \cdot \dfrac{\alpha}{360}\). Проверьте на полуокружности: при \(\alpha = 180^\circ\) должно выйти \(\pi R\).
\(3{,}14\) — только приближение, \(\pi\) — иррациональное число. Ответ «\(C = 18{,}84\) см» для \(R = 3\) см неточен: на самом деле \(6\pi = 18{,}849\ldots\)
Пишите точный ответ через \(\pi\) (\(6\pi\) см), а приближённый — со знаком \(\approx\) и разумным округлением (\(\approx 18{,}8\) см).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Радиус окружности увеличили в 2 раза. Как изменилась длина окружности?
Показать ответ
Ответ: Б) Увеличилась в 2 раза
\(C = 2\pi R\) — длина окружности прямо пропорциональна радиусу.
-
Найдите длину окружности диаметра 10 см, считая \(\pi \approx 3{,}14\). Ответ дайте в сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 31,4
\(C = \pi d \approx 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4\) см.
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей; В) Число π иррациональное; Г) Длину окружности можно найти по формуле C = πd
\(\dfrac{C}{2R} = \pi\) для любой окружности, а \(2R = d\), поэтому \(C = \pi d\). Число \(\dfrac{22}{7}\) — только приближение Архимеда, \(\pi\) — бесконечная непериодическая дробь.
-
Найдите длину дуги в 90° окружности радиуса 2 см, считая \(\pi \approx 3{,}14\). Ответ дайте в сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 3,14
Дуга в 90° — четверть окружности, \(l = \dfrac{2\pi \cdot 2}{4} = \pi \approx 3{,}14\) см.
-
Какую часть длины окружности составляет дуга в 60°?
Показать ответ
Ответ: Г) Шестую часть
\(\dfrac{60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{6}\), поэтому длина такой дуги — шестая часть всей окружности.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите длину окружности радиуса 3 см.
Подсказка
Подставьте радиус в формулу \(C = 2\pi R\).
Решение
\(C = 2\pi R = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \approx 6 \cdot 3{,}14 \approx 18{,}8\) см.
Ответ
Длина бортика круглой клумбы 31,4 м. Найдите радиус клумбы, считая \(\pi \approx 3{,}14\).
Подсказка
Из формулы \(C = 2\pi R\) выразите \(R\).
Решение
\(R = \dfrac{C}{2\pi} \approx \dfrac{31{,}4}{2 \cdot 3{,}14} = \dfrac{31{,}4}{6{,}28} = 5\) м.
Ответ
Найдите длину дуги окружности радиуса 9 см, если градусная мера дуги равна 40°.
Подсказка
Воспользуйтесь формулой \(l = \dfrac{\pi R}{180} \cdot \alpha\).
Решение
\(l = \dfrac{\pi \cdot 9}{180} \cdot 40 = \dfrac{360\pi}{180} = 2\pi \approx 6{,}28\) см.
Ответ
Диаметр колеса велосипеда 70 см. Сколько оборотов сделает колесо на пути 1,1 км? Ответ округлите до целых.
Подсказка
За один оборот колесо проходит путь, равный длине его окружности \(C = \pi d\).
Решение
За один оборот колесо проходит \(C = \pi d = 0{,}7\pi \approx 2{,}199\) м.
Путь \(1{,}1\) км \(= 1100\) м. Число оборотов \(N = \dfrac{1100}{0{,}7\pi} \approx 500{,}2\), то есть около 500 оборотов.
Ответ
Длина дуги окружности радиуса 12 см равна \(5\pi\) см. Найдите градусную меру этой дуги.
Подсказка
Подставьте известные величины в \(l = \dfrac{\pi R}{180} \cdot \alpha\) и выразите \(\alpha\).
Решение
Из \(l = \dfrac{\pi R \alpha}{180}\) получаем \(\alpha = \dfrac{180\,l}{\pi R} = \dfrac{180 \cdot 5\pi}{\pi \cdot 12} = \dfrac{900}{12} = 75^\circ\).
Ответ
Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 6 см.
Подсказка
Радиус описанной окружности правильного треугольника \(R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}\).
Решение
\(R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) см.
\(C = 2\pi R = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\,\pi \approx 4 \cdot 1{,}732 \cdot 3{,}14 \approx 21{,}8\) см.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите кружку или банку, нитку и линейку. Обмотайте нитку вокруг края, распрямите и измерьте — это длина окружности. Измерьте диаметр и поделите одно на другое: получится чуть больше 3. Сделайте то же с тарелкой — опять около 3,14. Это и есть \(\pi\): для любой окружности длина примерно в 3,14 раза больше диаметра.
Вопросы для проверки понимания: 1) Во сколько раз длина окружности больше диаметра? 2) Как изменится длина окружности, если радиус увеличить втрое? 3) Какую часть окружности составляет дуга в 90° и как найти её длину?
На что обратить внимание. Ребёнок должен различать радиус и диаметр и понимать, что длина дуги — доля от всей окружности, а не отдельная формула для заучивания. Хорошо, если он оставляет ответ через \(\pi\) и умеет перевести его в приближённое число.