Задача 1
В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что площадь круга относится к площади многоугольника как длина окружности к периметру многоугольника.
Решение
Дано: правильный многоугольник с периметром \(P\) и площадью \(S\), в него вписана окружность радиуса \(r\) длины \(C\); \(S_{кр}\) — площадь круга. Доказать: \(\dfrac{S_{кр}}{S} = \dfrac{C}{P}\).
-
Соединим центр с вершинами: многоугольник разобьётся на треугольники, у каждого основание — сторона, а высота — радиус \(r\) (радиус в точку касания перпендикулярен стороне). Поэтому \(S = \dfrac{1}{2}Pr\).
-
\(S_{кр} = \pi r^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi r \cdot r = \dfrac{1}{2}Cr\).
-
\(\dfrac{S_{кр}}{S} = \dfrac{\frac{1}{2}Cr}{\frac{1}{2}Pr} = \dfrac{C}{P}\).
Ответ
Площадь многоугольника с вписанной окружностью равна Pr/2, а площадь круга — Cr/2, поэтому r/2 сокращается.
Подробнее — в теме «Площадь круга и кругового сектора».