Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Площадь круга радиуса \(R\) равна \(\pi R^2\). Круговой сектор с дугой \(\alpha^\circ\) — это \(\dfrac{\alpha}{360}\) часть круга, а площадь сегмента меньше полукруга получают вычитанием треугольника из сектора.
Подробное объяснение
Какая пицца выгоднее: одна диаметром 30 см или две по 20 см? Кажется, что две — ведь \(20 + 20 > 30\). Но сравнивать нужно площади, а площадь круга растёт как квадрат радиуса. Чтобы ответить точно, нужна формула.
Площадь круга
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью: центр и все точки, удалённые от центра не дальше, чем на радиус \(R\).
Формулу получают так же, как длину окружности, — через правильные многоугольники. Впишем в окружность правильный \(n\)-угольник. Его площадь равна половине периметра, умноженной на радиус вписанной окружности: \(S_n = \dfrac{1}{2}P_n r_n\). Если число сторон неограниченно увеличивать, многоугольник всё плотнее прилегает к кругу: периметр \(P_n\) стремится к длине окружности \(2\pi R\), радиус \(r_n\) — к \(R\), а площадь \(S_n\) — к площади круга. Получаем
Площадь пропорциональна квадрату радиуса: увеличили радиус в 2 раза — площадь выросла в 4 раза. Вернёмся к пицце: большая — \(\pi \cdot 15^2 = 225\pi\) см², две маленькие — \(2 \cdot \pi \cdot 10^2 = 200\pi\) см². Одна большая всё-таки больше.
Если известен диаметр, удобна запись \(S = \dfrac{\pi d^2}{4}\).
Древняя задача о квадратуре круга — построить циркулем и линейкой квадрат той же площади, что и данный круг. Только в конце XIX века доказали, что это невозможно.
Круговой сектор
Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведёнными к её концам. Это «кусок пиццы».
Весь круг — это сектор с дугой \(360^\circ\). Поэтому сектор с дугой \(1^\circ\) имеет площадь \(\dfrac{\pi R^2}{360}\), а сектор с дугой \(\alpha^\circ\) —
Если дуга задана в радианах (\(\varphi\) рад), формула ещё проще: \(S = \dfrac{\varphi R^2}{2}\).
Круговой сегмент и кольцо
Круговой сегмент — часть круга, ограниченная дугой и хордой, соединяющей концы дуги. Если дуга меньше \(180^\circ\), площадь сегмента равна площади сектора минус площадь равнобедренного треугольника \(AOB\), стороны которого — два радиуса и хорда. Площадь треугольника удобно считать по формуле \(\dfrac{1}{2}R^2\sin\alpha\). Если дуга больше \(180^\circ\), треугольник, наоборот, прибавляют к сектору.
Кольцо между двумя окружностями с общим центром — это большой круг без малого: \(S = \pi(R_2^2 - R_1^2)\).
Как решать задачи
- Определите, какая фигура нужна: круг, сектор, сегмент или кольцо.
- Найдите радиус. Если дан диаметр — разделите его пополам; если дана длина окружности — \(R = \dfrac{C}{2\pi}\).
- Для сектора найдите угол дуги в градусах (или в радианах — тогда \(S = \dfrac{\varphi R^2}{2}\)).
- Для сегмента вычислите сектор и треугольник и вычтите (или сложите, если дуга больше полуокружности).
- Ответ оставьте с \(\pi\) (например, \(25\pi\) см²) и, если нужно, дайте приближённое значение, считая \(\pi \approx 3{,}14\). Единицы площади — квадратные.
Разобранные примеры
Одна большая пицца или две маленькие
Что больше по площади: одна пицца диаметром 30 см или две пиццы диаметром 20 см?
- \(d_1 = 30\) см
- \(d_2 = 20\) см
- сравнить \(S_1\) и \(2S_2\)
Радиусы 15 см и 10 см.
\(S_1 = \pi \cdot 15^2 = 225\pi \approx 706{,}9\) см².
\(2S_2 = 2 \cdot \pi \cdot 10^2 = 200\pi \approx 628{,}3\) см².
\(225\pi > 200\pi\), значит, одна большая пицца больше двух маленьких.
Площадь сектора двумя способами
Найдите площадь кругового сектора радиуса 12 см с центральным углом \(150^\circ\).
- \(R = 12\) см
- \(\alpha = 150^\circ\)
- \(S\)
\(S = \dfrac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha = \dfrac{144\pi \cdot 150}{360} = 60\pi \approx 188{,}5\) см².
Проверка через радианы: \(150^\circ = \dfrac{5\pi}{6}\) рад, \(S = \dfrac{\varphi R^2}{2} = \dfrac{5\pi}{6} \cdot \dfrac{144}{2} = 60\pi\) см². Совпало.
Площадь сегмента
Хорда стягивает дугу \(60^\circ\) окружности радиуса 10 см. Найдите площадь меньшего из сегментов, на которые хорда делит круг.
- \(R = 10\) см
- дуга \(60^\circ\)
- площадь сегмента \(S\)
Сектор: \(\dfrac{100\pi \cdot 60}{360} = \dfrac{50\pi}{3} \approx 52{,}36\) см².
Треугольник \(AOB\): \(OA = OB = 10\) см, \(\angle AOB = 60^\circ\), значит, он равносторонний со стороной 10 см. Его площадь \(\dfrac{10^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}30\) см².
Дуга меньше \(180^\circ\), поэтому \(S = \dfrac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3} \approx 52{,}36 - 43{,}30 = 9{,}06\) см².
Типичные ошибки
В задаче сказано «диаметр 8 см», а ученик пишет \(S = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\). Это площадь круга вдвое большего радиуса — ответ получается в 4 раза больше верного.
Сначала найдите радиус: \(R = \dfrac{d}{2} = 4\) см, затем \(S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\) см². Или сразу \(S = \dfrac{\pi d^2}{4}\).
Формулу сектора путают с формулой длины дуги \(l = \dfrac{\pi R}{180} \cdot \alpha\). Получается площадь, вдвое больше верной: сектор с дугой \(180^\circ\) выйдет целым кругом, а не половиной.
Площадь сектора — доля от площади всего круга, а полный угол — \(360^\circ\): \(S = \dfrac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha\). Проверка: при \(\alpha = 180^\circ\) должна получиться половина круга.
Правило «сектор минус треугольник» верно только для сегмента с дугой меньше \(180^\circ\). Для большого сегмента (дуга больше \(180^\circ\)) треугольник лежит внутри него, и вычитание даёт заведомо заниженный ответ.
Нарисуйте чертёж. Для дуги больше \(180^\circ\) площадь сегмента равна площади сектора плюс площадь треугольника \(AOB\) — или площадь круга минус площадь малого сегмента.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в 3 раза?
Показать ответ
Ответ: В) Увеличится в 9 раз
Площадь круга \(S = \pi R^2\) пропорциональна квадрату радиуса, \(3^2 = 9\).
-
Площадь круга равна \(16\pi\). Чему равен его радиус?
Показать ответ
Ответ: 4
\(\pi R^2 = 16\pi\), откуда \(R^2 = 16\), \(R = 4\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Сектор с дугой 90° — это четверть круга; В) Площадь круга радиуса R равна πR²
Сегмент ограничен дугой и хордой (дугой и двумя радиусами — сектор), а полукруг — половина круга, его площадь \(\dfrac{\pi R^2}{2}\).
-
По какой формуле находят площадь кругового сектора радиуса \(R\) с дугой \(\alpha^\circ\)?
Показать ответ
Ответ: А) S = πR²α / 360
Сектор с дугой \(1^\circ\) — это \(\dfrac{1}{360}\) круга, поэтому \(S = \dfrac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha\). Формула \(\dfrac{\pi R \alpha}{180}\) — это длина дуги, а не площадь.
-
Найдите площадь сектора радиуса 3, если радианная мера его дуги равна 2.
Показать ответ
Ответ: 9
В радианах \(S = \dfrac{\varphi R^2}{2} = \dfrac{2 \cdot 9}{2} = 9\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите площадь круга радиуса 5 см.
Подсказка
Подставьте радиус в формулу \(S = \pi R^2\).
Решение
\(S = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 25 \cdot 3{,}14 = 78{,}5\) см².
Ответ
Найдите площадь кругового сектора радиуса 6 см с дугой \(40^\circ\).
Подсказка
Сектор составляет \(\dfrac{40}{360}\) всего круга.
Решение
\(S = \dfrac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha = \dfrac{36\pi \cdot 40}{360} = 4\pi \approx 12{,}6\) см².
Ответ
Площадь круга равна 50,24 см². Найдите его радиус, считая \(\pi \approx 3{,}14\).
Подсказка
Из \(S = \pi R^2\) выразите \(R^2\), затем извлеките корень.
Решение
\(R^2 = \dfrac{S}{\pi} \approx \dfrac{50{,}24}{3{,}14} = 16\), \(R = 4\) см.
Ответ
Металлическая шайба — кольцо с внешним диаметром 10 мм и диаметром отверстия 6 мм. Найдите площадь шайбы.
Подсказка
Площадь кольца — разность площадей двух кругов. Не забудьте перейти от диаметров к радиусам.
Решение
Радиусы 5 мм и 3 мм. \(S = \pi(5^2 - 3^2) = 16\pi \approx 50{,}3\) мм².
Ответ
Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга 6 см, а дуга сегмента равна \(90^\circ\).
Подсказка
Из площади сектора вычтите площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.
Решение
Сектор: \(\dfrac{36\pi \cdot 90}{360} = 9\pi\) см². Треугольник из двух радиусов с углом \(90^\circ\) между ними прямоугольный: \(\dfrac{6 \cdot 6}{2} = 18\) см².
Сегмент: \(9\pi - 18 \approx 28{,}27 - 18 = 10{,}27\) см².
Ответ
Во сколько раз площадь круга, описанного около квадрата, больше площади круга, вписанного в этот же квадрат?
Подсказка
Пусть сторона квадрата \(a\). Радиус вписанного круга — половина стороны, описанного — половина диагонали.
Решение
\(r = \dfrac{a}{2}\), \(R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\), поэтому \(\dfrac{R}{r} = \sqrt{2}\).
Площади относятся как квадраты радиусов: \(\dfrac{\pi R^2}{\pi r^2} = (\sqrt{2})^2 = 2\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите круглую пиццу или торт и нарежьте на 8–12 одинаковых кусков. Разложите куски «ёлочкой» — остриями попеременно вверх и вниз. Получится фигура, похожая на прямоугольник: длинная сторона — половина окружности (\(\pi R\)), короткая — радиус \(R\). Отсюда площадь \(\pi R \cdot R = \pi R^2\). Один кусок — это сектор: если кусков 8, его площадь — восьмая часть всего круга.
Вопросы для проверки понимания: 1) Во сколько раз увеличится площадь круга, если радиус увеличить вдвое? (В 4 раза.) 2) Какую часть круга составляет сектор с углом \(60^\circ\)? (Шестую.) 3) Чем сегмент отличается от сектора? (Сегмент ограничен дугой и хордой, сектор — дугой и двумя радиусами.)
На что обратить внимание. Главные ловушки — диаметр вместо радиуса и путаница с формулой длины окружности. Попросите ребёнка проговаривать единицы: длина — в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах. Если в ответе площади см без квадрата, скорее всего, взята не та формула.