Задача 1
Условие (кратко)
Фигура ограничена большими дугами двух окружностей с общей хордой 6 см. Для одной окружности хорда — сторона вписанного квадрата, для другой — правильного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.
Решение
Дано
- общая хорда \(AB = 6\) см; \(AB\) — сторона квадрата
- вписанного в первую окружность
- и сторона правильного шестиугольника
- вписанного во вторую
Найти
- сумму длин больших дуг
-
Первая окружность: \(a_4 = R_1\sqrt{2}\), \(R_1 = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\) см. Сторона квадрата стягивает дугу \(90^\circ\), большая дуга — \(270^\circ\):
\[l_1 = \dfrac{\pi R_1 \cdot 270}{180} = \dfrac{3}{2}\pi \cdot 3\sqrt{2} = \dfrac{9\sqrt{2}}{2}\pi \text{ см}.\] -
Вторая окружность: \(a_6 = R_2 = 6\) см. Сторона шестиугольника стягивает дугу \(60^\circ\), большая дуга — \(300^\circ\):
\[l_2 = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 300}{180} = 10\pi \text{ см}.\] -
\(l_1 + l_2 = 10\pi + \dfrac{9\sqrt{2}}{2}\pi = \dfrac{\pi}{2}(20 + 9\sqrt{2}) \approx 51{,}4\) см.
Ответ
π(20 + 9√2)/2 см ≈ 51,4 см
Почему так
Радиусы находим по формулам сторон вписанных квадрата и шестиугольника, длину дуги — по формуле l = πRα/180.
Подробнее — в теме «Длина окружности».