Задача 1
Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, одна из боковых сторон 13 см. Найдите длину описанной окружности.
Решение
- трапеция \(ABCD\) вписана в окружность
- \(BC = 4\) см
- \(AD = 14\) см
- \(AB = 13\) см
- длину \(C\) описанной окружности
-
Трапеция, около которой можно описать окружность, равнобедренная. Высота \(BH\) отсекает \(AH = \dfrac{14 - 4}{2} = 5\) см, \(BH = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\) см.
-
Тогда \(HD = 14 - 5 = 9\) см и диагональ \(BD = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\) см. В \(\triangle ABH\): \(\sin A = \dfrac{12}{13}\).
-
Окружность описана и около \(\triangle ABD\). По теореме синусов \(2R = \dfrac{BD}{\sin A} = 15 : \dfrac{12}{13} = \dfrac{65}{4}\) см.
-
\(C = 2\pi R = \dfrac{65}{4}\pi \approx 51{,}1\) см.
Ответ
Описанная около трапеции окружность — это окружность, описанная около треугольника ABD, её диаметр даёт теорема синусов.
Подробнее — в теме «Длина окружности».