Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XIII, задание 1235

Задача 1

Условие (кратко)

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника. Докажите, что отношение длин вписанных в них окружностей равно коэффициенту подобия.

Решение

Дано: $\triangle ACH \sim \triangle CBH$ с коэффициентом $$k$$ ( $$CH$$ — высота прямоугольного $\triangle ABC$ ), $$r_1, r_2$$ — радиусы вписанных окружностей, $$C_1, C_2$$ — их длины. Доказать: $\dfrac{C_1}{C_2} = k$ .

Радиус вписанной окружности треугольника $r = \dfrac{2S}{P}$ (треугольник разбивается на три треугольника с вершиной в центре и высотой $$r$$ , поэтому $S = \dfrac{1}{2}Pr$ ).
У подобных треугольников $$P_1 = kP_2$$ , $$S_1 = k^2 S_2$$ . Тогда $r_1 = \dfrac{2k^2 S_2}{kP_2} = k \cdot \dfrac{2S_2}{P_2} = kr_2$ .
$\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \dfrac{r_1}{r_2} = k$ .

Ответ

Утверждение доказано — радиусы вписанных окружностей, а значит и их длины, относятся как k

Почему так

Длина окружности пропорциональна радиусу, а радиус вписанной окружности r = 2S/P у подобных треугольников меняется в k раз.

Подробнее — в теме «Длина окружности».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).