Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XIII, задание 1236

Условие (кратко)

Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку (задача повышенной трудности, на построение).

Решение

Дано: отрезок $$PQ$$ . Построить: правильный восьмиугольник со стороной $$PQ$$ .

Идея: центральный угол правильного восьмиугольника равен $360^\circ : 8 = 45^\circ$ . Построим равнобедренный треугольник $$ABO$$ с основанием $$AB = PQ$$ и углом $AOB = 45^\circ$ ; $$O$$ — центр описанной окружности.

Отложим $$AB = PQ$$ , построим середину $$M$$ отрезка $$AB$$ и серединный перпендикуляр $$m$$ к $$AB$$ .
Окружность с центром $$M$$ радиуса $$MA$$ пересечёт $$m$$ в точке $$K$$ . В $\triangle AKB$ медиана $$KM$$ равна половине $$AB$$ , поэтому $\angle AKB = 90^\circ$ и $\angle AKM = 45^\circ$ .
На продолжении $$MK$$ за точку $$K$$ отложим $$KO = KA$$ . Треугольник $$AKO$$ равнобедренный, $\angle AKO = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ , поэтому $\angle KOA = 22{,}5^\circ$ . По симметрии $\angle AOB = 2 \cdot 22{,}5^\circ = 45^\circ$ .
Проведём окружность с центром $$O$$ радиуса $$OA$$ (она пройдёт и через $$B$$ ) и, начиная от $$B$$ , отложим циркулем по окружности хорды, равные $$AB$$ : получим $$C, D, E, F, G, H$$ .
Каждая хорда стягивает центральный угол $45^\circ$ , восемь таких углов дают $360^\circ$ , поэтому восьмая хорда $$HA$$ замыкает многоугольник. $$ABCDEFGH$$ вписан в окружность и имеет равные стороны, значит, и равные углы (каждый опирается на дугу $270^\circ$ ) — он правильный.

Ответ

Построен правильный восьмиугольник ABCDEFGH, вписанный в окружность с центром O, у которого ∠AOB = 45°, AB = PQ

Почему так

Достаточно построить центр O, из которого сторона видна под углом 45°, а затем отложить сторону по описанной окружности восемь раз.

Подробнее — в теме «Построение правильных многоугольников».

Задание 1236

Задача 1