Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Правильные многоугольники строят циркулем и линейкой через описанную окружность. Шестиугольник получается засечками раствором, равным радиусу, квадрат — двумя перпендикулярными диаметрами, а деление дуг пополам удваивает число сторон.
Подробное объяснение
Как без транспортира нарисовать ровную шестиугольную снежинку или восьмиугольный циферблат? Древние геометры обходились циркулем и линейкой без делений, и для многих правильных многоугольников этого хватает. Правильный треугольник по стороне и квадрат вы строить уже умеете. Для большего числа сторон удобно идти через описанную окружность: если поделить её на \(n\) равных дуг, концы дуг будут вершинами правильного \(n\)-угольника. Ведь равные дуги стягиваются равными хордами, а вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.
Правильный шестиугольник
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности: \(a_6 = 2R\sin 30^\circ = R\). Отсюда построение по данной стороне \(PQ\):
- Начертите окружность радиуса \(PQ\) и отметьте на ней точку \(A_1\).
- Не меняя раствора циркуля, сделайте засечки: из \(A_1\) получите \(A_2\), из \(A_2\) — \(A_3\), и так до \(A_6\).
- Соедините точки по порядку — шестиугольник готов. Шестая засечка точно вернётся в \(A_1\), потому что каждая хорда, равная \(R\), стягивает дугу \(60^\circ\).
Взяв вершины через одну (\(A_1\), \(A_3\), \(A_5\)), получим правильный треугольник, вписанный в ту же окружность.
Квадрат
Проведите диаметр \(AC\), затем серединный перпендикуляр к нему — он пройдёт через центр и даст второй диаметр \(BD\). Перпендикулярные диаметры делят окружность на четыре дуги по \(90^\circ\), точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины квадрата.
Удвоение числа сторон
Главный приём: из правильного \(n\)-угольника можно построить правильный \(2n\)-угольник.
- Опишите около \(n\)-угольника окружность. Её центр — пересечение биссектрис двух углов (или серединных перпендикуляров к двум сторонам).
- Постройте серединные перпендикуляры к сторонам. Каждый проходит через центр и делит пополам дугу, которую стягивает сторона. Получите точки \(B_1, B_2, \ldots, B_n\).
- Соедините по порядку \(A_1, B_1, A_2, B_2, \ldots, A_n, B_n\).
Теперь окружность разбита на \(2n\) равных дуг, значит, многоугольник правильный.
Из шестиугольника так получают 12-, 24-, 48-угольники, из квадрата — 8-, 16-, 32-угольники и вообще правильный \(2^k\)-угольник.
Не всё можно построить
Циркулем и линейкой строятся не все правильные многоугольники. Доказано, что правильный семиугольник так построить нельзя. А вот правильный 17-угольник — можно, это открыл молодой Карл Гаусс. Поэтому в задачах встречаются 3-, 4-, 6-, 8-, 12-угольники, но не 7- или 9-угольник.
Как решать задачи на построение
- Определите, что нужно: многоугольник по стороне или вписанный в данную окружность.
- Если дана сторона — найдите радиус описанной окружности (для шестиугольника \(R = a_6\)).
- Постройте «базовый» многоугольник: шестиугольник (засечками) или квадрат (перпендикулярными диаметрами).
- Нужно больше сторон — удваивайте серединными перпендикулярами. Нужен треугольник — берите вершины шестиугольника через одну.
- В ответе объясните, почему фигура правильная: вершины делят окружность на равные дуги.
Разобранные примеры
Шестиугольник с заданным периметром
Постройте правильный шестиугольник с периметром 24 см. Каким раствором циркуля нужно делать засечки?
- \(P = 24\) см
- \(n = 6\)
- радиус окружности (раствор циркуля)
Сторона \(a_6 = 24 : 6 = 4\) см. Так как \(a_6 = R\), начертите окружность радиуса 4 см и тем же раствором сделайте шесть засечек по окружности. Соедините их по порядку.
Правильный восьмиугольник в окружности
Впишите в данную окружность с центром \(O\) правильный восьмиугольник и найдите его угол.
- Проведите диаметр \(AC\) и серединный перпендикуляр к нему — второй диаметр \(BD\). Квадрат \(ABCD\) вписан.
- Постройте серединные перпендикуляры к \(AB\) и \(BC\). Продолженные через \(O\), они делят пополам и дуги \(CD\) и \(DA\). Получите середины четырёх дуг: \(M\), \(N\), \(K\), \(L\).
- Соедините по порядку \(A, M, B, N, C, K, D, L\) — восемь дуг по \(45^\circ\), восемь равных хорд.
Угол восьмиугольника \(\dfrac{8 - 2}{8} \cdot 180^\circ = 135^\circ\).
Сторона построенного многоугольника
В окружность радиуса 6 см вписали правильный шестиугольник, а затем удвоили его до двенадцатиугольника. Найдите отрезок \(A_1B_1\) — сторону двенадцатиугольника — с точностью до сотых.
- \(R = 6\) см
- \(n = 12\)
- \(a_{12}\)
\(a_{12} = 2R\sin\dfrac{180^\circ}{12} = 12\sin 15^\circ \approx 12 \cdot 0{,}2588 \approx 3{,}11\) см. Это меньше стороны шестиугольника (6 см), как и должно быть: чем больше сторон, тем они короче.
Типичные ошибки
Хорда, равная диаметру, — это сам диаметр, она стягивает полуокружность. Засечки такой длины дадут только две точки.
Для шестиугольника раствор циркуля равен радиусу: \(a_6 = R\), каждая засечка отсекает дугу \(60^\circ\).
В задаче на построение разрешены только циркуль и линейка без делений. Транспортир даёт приближённый результат и не считается построением.
Середину дуги находят серединным перпендикуляром к стягивающей её хорде: он проходит через центр окружности и делит дугу пополам.
Шаги построения без объяснения — не полное решение: неясно, почему стороны и углы равны.
Добавьте одну фразу: вершины делят окружность на \(n\) равных дуг, равные дуги стягиваются равными хордами, а углы многоугольника опираются на равные дуги — значит, стороны и углы равны.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Каким раствором циркуля откладывают стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность?
Показать ответ
Ответ: А) Равным радиусу
Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу, \(a_6 = 2R\sin 30^\circ = R\).
-
Какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Шестиугольник; Б) Восьмиугольник; Г) Двенадцатиугольник
Шестиугольник строится засечками, восьмиугольник и двенадцатиугольник — удвоением квадрата и шестиугольника. Правильный семиугольник циркулем и линейкой построить нельзя — это доказано.
-
Сколько сторон получится, если правильный восьмиугольник дважды «удвоить» способом деления дуг пополам?
Показать ответ
Ответ: 32
\(8 \to 16 \to 32\).
-
Чем удобнее всего найти середину дуги, стягиваемой стороной вписанного многоугольника?
Показать ответ
Ответ: А) Серединным перпендикуляром к этой стороне
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности и делит стягиваемую дугу пополам. Транспортир в построениях циркулем и линейкой не используется.
-
Как вписать в окружность квадрат циркулем и линейкой?
Показать ответ
Ответ: А) Провести два перпендикулярных диаметра и соединить их концы
Перпендикулярные диаметры делят окружность на четыре дуги по \(90^\circ\), их концы — вершины квадрата. Вершины шестиугольника через одну дают правильный треугольник.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Постройте правильный шестиугольник со стороной 3 см. Окружность какого радиуса для этого нужна и каким будет периметр?
Подсказка
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Решение
- Начертите окружность радиуса 3 см и отметьте на ней точку \(A_1\).
- Не меняя раствора циркуля, сделайте от \(A_1\) по окружности засечки \(A_2, A_3, \ldots, A_6\).
- Соедините точки по порядку. Так как \(a_6 = R\), нужна окружность радиуса 3 см, периметр \(6 \cdot 3 = 18\) см.
Ответ
Как с помощью циркуля и линейки вписать в окружность правильный треугольник?
Подсказка
Сначала постройте точки правильного шестиугольника.
Решение
Раствором циркуля, равным радиусу, отметьте на окружности шесть точек \(A_1, \ldots, A_6\) (вершины правильного шестиугольника). Соедините их через одну, \(A_1\), \(A_3\), \(A_5\). Дуги между ними по \(120^\circ\) равны, значит, равны и хорды — треугольник правильный.
Ответ
Как построить правильный двенадцатиугольник, если правильный шестиугольник, вписанный в окружность, уже построен? Чему равен угол двенадцатиугольника?
Подсказка
Разделите пополам каждую дугу между соседними вершинами.
Решение
Постройте серединные перпендикуляры к сторонам шестиугольника: каждый проходит через центр и пересекает меньшую дугу в её середине. Получите точки \(B_1, \ldots, B_6\) и соедините по порядку \(A_1, B_1, A_2, B_2, \ldots, A_6, B_6\). Все 12 дуг по \(30^\circ\), хорды равны — двенадцатиугольник правильный. Его угол \(\dfrac{12 - 2}{12} \cdot 180^\circ = 150^\circ\).
Ответ
Начиная с квадрата и удваивая число сторон, получают правильные многоугольники. Какой по счёту шаг удвоения даст 32-угольник и каким будет центральный угол, опирающийся на его сторону?
Подсказка
4 → 8 → 16 → 32.
Решение
Из квадрата удвоением получаем 8-, 16-, 32-угольник — это третий шаг. Центральный угол \(360^\circ : 32 = 11{,}25^\circ\).
Ответ
В окружность радиуса 4 см циркулем и линейкой вписан правильный двенадцатиугольник. Найдите длину его стороны с точностью до сотых.
Подсказка
Воспользуйтесь формулой aₙ = 2R·sin(180°/n); sin 15° ≈ 0,2588.
Решение
\(a_{12} = 2R\sin\dfrac{180^\circ}{12} = 2 \cdot 4 \cdot \sin 15^\circ \approx 8 \cdot 0{,}2588 \approx 2{,}07\) см.
Ответ
Можно ли циркулем и линейкой построить угол \(15^\circ\), пользуясь построением правильных многоугольников?
Подсказка
Какому многоугольнику соответствует центральный угол 30°?
Решение
Да. Постройте вписанный правильный шестиугольник и удвойте его до двенадцатиугольника. Центральный угол, опирающийся на сторону двенадцатиугольника, равен \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). Его биссектриса (или вписанный угол, опирающийся на ту же сторону) даёт \(15^\circ\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Дайте ребёнку циркуль. Начертите окружность и, не меняя раствора, «прошагайте» по ней шесть раз — получится шестиугольник, а через одну точку — треугольник. Потом нарисуйте два перпендикулярных диаметра — квадрат, и спросите, как получить из него восьмиугольник.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему засечки радиусом дают ровно шесть точек? 2) Как из квадрата получить восьмиугольник? 3) Любой ли правильный многоугольник можно построить циркулем и линейкой?
На что обратить внимание. В построениях нельзя пользоваться делениями линейки и транспортиром. Ребёнок должен уметь объяснить, почему получившийся многоугольник правильный, — через равные дуги.