Задача 1
Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов (задача повышенной трудности, на построение).
Решение
Дано: круги радиусов \(r_1\) и \(r_2\). Построить: круг радиуса \(r\), для которого \(\pi r^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2\).
Условие равносильно \(r^2 = r_1^2 + r_2^2\): \(r\) — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(r_1\) и \(r_2\).
-
Построим прямой угол с вершиной \(C\) (перпендикуляр к прямой).
-
На его сторонах отложим \(CA = r_1\) и \(CB = r_2\) (радиусы снимаем циркулем с данных кругов: от центра до любой точки окружности).
-
По теореме Пифагора \(AB^2 = r_1^2 + r_2^2\). Проведём круг радиуса \(r = AB\) с любым центром.
-
Его площадь \(\pi AB^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2\) — сумма площадей данных кругов.
Ответ
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому сложение площадей сводится к теореме Пифагора для радиусов.
Подробнее — в теме «Площадь круга и кругового сектора».