Задание 1238

Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(r\) (если центр не отмечен, он находится как точка пересечения серединных перпендикуляров к двум хордам). Построить: правильный треугольник, описанный около окружности.

1. Впишем правильный шестиугольник: от точки \(A_1\) окружности откладываем циркулем хорды, равные \(r\), получаем \(A_1, \ldots, A_6\). Точки \(A_1, A_3, A_5\) — вершины вписанного правильного треугольника, они делят окружность на дуги по \(120^\circ\).

2. Через \(A_1, A_3, A_5\) проведём касательные — прямые, перпендикулярные радиусам \(OA_1, OA_3, OA_5\).

3. Касательные пересекутся в точках \(K, L, N\). В четырёхугольнике \(OA_1KA_3\) два прямых угла и угол \(A_1OA_3 = 120^\circ\), поэтому \(\angle K = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Так же \(\angle L = \angle N = 60^\circ\).

4. У \(\triangle KLN\) все углы по \(60^\circ\) — он правильный, и все его стороны касаются окружности, то есть он описан около неё.

Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(r\). Построить: правильный шестиугольник, описанный около окружности.

1. Впишем правильный шестиугольник \(A_1A_2 \ldots A_6\): откладываем по окружности хорды, равные \(r\). Точки делят окружность на дуги по \(60^\circ\).

2. В каждой точке \(A_1, \ldots, A_6\) проведём касательную (перпендикуляр к радиусу). Соседние касательные пересекаются, получаем шестиугольник.

3. В четырёхугольнике \(OA_1KA_2\) (\(K\) — точка пересечения касательных в \(A_1\) и \(A_2\)) углы при \(A_1, A_2\) прямые, \(\angle A_1OA_2 = 60^\circ\), поэтому \(\angle K = 120^\circ\). Все углы шестиугольника по \(120^\circ\).

4. Отрезки касательных из каждой вершины равны между собой, а прямоугольные треугольники \(OA_1K, OA_2K, \ldots\) равны (катет \(r\) и острый угол \(30^\circ\) при \(O\)). Поэтому все стороны шестиугольника (по два таких отрезка) равны — он правильный и описан около окружности.