Около данной окружности опишите правильный четырёхугольник (квадрат) (задача на построение).
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(r\). Построить: описанный около неё квадрат.
Проведём диаметр \(A_1A_3\) и перпендикулярный ему диаметр \(A_2A_4\) (через \(O\) строим перпендикуляр к \(A_1A_3\)). Точки делят окружность на четыре дуги по \(90^\circ\).
В точках \(A_1, A_2, A_3, A_4\) проведём касательные — перпендикуляры к радиусам.
Касательные в \(A_1\) и \(A_3\) параллельны (обе перпендикулярны \(A_1A_3\)), так же в \(A_2\) и \(A_4\); соседние касательные перпендикулярны. Получился прямоугольник, у которого расстояния между противоположными сторонами равны \(2r\), то есть квадрат со стороной \(2r\), стороны которого касаются окружности.
Ответ
Построен квадрат со стороной 2r — касательные в концах двух перпендикулярных диаметров
Почему так
Касательные в концах двух перпендикулярных диаметров образуют квадрат, описанный около окружности.
Около данной окружности опишите правильный восьмиугольник (задача на построение).
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(r\). Построить: описанный около неё правильный восьмиугольник.
Проведём два перпендикулярных диаметра и построим биссектрисы прямых углов между ними. Получим четыре диаметра, их концы \(A_1, \ldots, A_8\) делят окружность на восемь дуг по \(45^\circ\).
В каждой точке \(A_1, \ldots, A_8\) проведём касательную (перпендикуляр к радиусу). Соседние касательные пересекаются в вершинах восьмиугольника.
В четырёхугольнике \(OA_1KA_2\) (\(K\) — точка пересечения касательных в \(A_1\) и \(A_2\)) два прямых угла и \(\angle A_1OA_2 = 45^\circ\), поэтому \(\angle K = 135^\circ\); все углы восьмиугольника по \(135^\circ\).
Прямоугольные треугольники \(OA_1K\), \(OA_2K, \ldots\) равны (катет \(r\) и угол \(22{,}5^\circ\) при \(O\)), поэтому все отрезки касательных равны и все стороны восьмиугольника равны. Восьмиугольник правильный и описан около окружности.
Ответ
Построен правильный восьмиугольник из касательных в восьми точках, делящих окружность на дуги по 45°
Почему так
Касательные в точках, делящих окружность на восемь равных дуг, образуют многоугольник с равными сторонами и углами по 135°.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).