Задача 1
Найдите симметрии фигуры F — правильной пятиконечной звезды с центром O (рисунок 377).
Решение
- правильная пятиконечная звезда \(F\) с центром \(O\)
- все движения
- отображающие \(F\) на себя
-
Вершины звезды лежат на окружности с центром \(O\) и делят её на 5 равных дуг по \(360^\circ : 5 = 72^\circ\).
-
Поворотные симметрии. Поворот вокруг \(O\) на \(72^\circ\) переводит каждую вершину в соседнюю, а каждый отрезок звезды — в соседний отрезок, поэтому звезда отображается на себя. То же для поворотов на \(144^\circ\), \(216^\circ\), \(288^\circ\) (в одну сторону). Поворот на \(360^\circ\) — тождественное преобразование, а оно симметрией не считается.
-
Осевые симметрии. Прямая, проходящая через вершину звезды и центр \(O\), делит звезду на две зеркальные половины: при симметрии относительно неё вершины, лежащие по разные стороны от прямой, меняются местами попарно. Таких прямых пять — по одной через каждую вершину (каждая из них проходит и через середину противоположной «впадины» звезды).
-
Центральной симметрии нет: точка, симметричная вершине относительно \(O\), лежит во «впадине» между двумя лучами и вершиной не является.
Итого: 4 поворота и 5 осевых симметрий — 9 симметрий (как у правильного пятиугольника, задача 1273).
Ответ
Симметрия фигуры — движение, переводящее её в себя; у правильной звезды это повороты на углы, кратные 72° (кроме 360°), и отражения в пяти осях.
Подробнее — в теме «Симметрия фигур».