Какие фигуры обладают центральной симметрией?

Равнобедренная трапеция

Равносторонний треугольник

Каким движением бордюр совмещается сам с собой?

Параллельным переносом вдоль ленты

Только осевой симметрией

Что из перечисленного НЕ считается симметрией фигуры?

Поворот квадрата на 90° вокруг центра

Осевая симметрия ромба относительно диагонали

Центральная симметрия окружности

Симметрия фигур — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Понятие движения

Коротко о главном

Симметрия фигуры — любое движение, кроме тождественного, которое переводит фигуру в себя. Осевая симметрия даёт ось, поворот — поворотную симметрию (поворот на 180° — центральную), параллельный перенос на ненулевой вектор — переносную.

\text{правильный } n\text{-угольник: } n \text{ осевых} + (n - 1) \text{ поворотов} = 2n - 1 \text{ симметрий}

Подробное объяснение

Снежинку можно повернуть на $60^\circ$ — и она выглядит так же. Бабочку можно отразить в зеркале вдоль тела — то же самое. Узор на бесконечной ленте обоев можно сдвинуть на один «шаг» — и он совпадёт сам с собой. Всё это — симметрии.

Что такое симметрия фигуры

Возьмём фигуру и движение плоскости. Если после движения фигура заняла то же самое место, говорят, что движение переводит фигуру в себя. Такое движение, если оно не тождественное (не «ничего не делать»), называют внутренней симметрией или просто симметрией фигуры.

Виды симметрий:

осевая — фигура переходит в себя при осевой симметрии, прямая называется осью симметрии;
поворотная — фигура переходит в себя при повороте вокруг точки на некоторый угол;
центральная — частный случай поворотной, поворот на $180^\circ$ ; точка называется центром симметрии;
переносная — фигура переходит в себя при параллельном переносе на ненулевой вектор. Так бывает только у неограниченных фигур: прямой, полосы, бесконечного узора.

Сколько симметрий у фигуры

Считают все движения. Поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке и на $90^\circ$ против — разные симметрии, а поворот на $180^\circ$ в обе стороны — одна и та же.

Равнобедренный (не равносторонний) треугольник — 1 симметрия: ось — серединный перпендикуляр к основанию.
Равносторонний треугольник — 5: три оси и два поворота на $120^\circ$ .
Квадрат — 7: четыре оси, центральная симметрия и два поворота на $90^\circ$ .
Правильный $$n$$ -угольник — $$2n - 1$$ : $$n$$ осей и $$n - 1$$ поворотов на углы, кратные $\dfrac{360^\circ}{n}$ .
Окружность — бесконечно много: любая прямая через центр — ось, любой поворот вокруг центра — симметрия.
Полоса (часть плоскости между двумя параллельными прямыми, её краями) — тоже бесконечно много: осевые, центральные и переносные.

Квадрат ABCD с центром O. Пунктиром проведены четыре оси симметрии — две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон. Дуговая стрелка у центра показывает поворот на 90°. — У квадрата семь симметрий — четыре осевые, центральная и два поворота на 90° вокруг центра.

Удобный инструмент: движение сохраняет расстояния и переводит вершины многоугольника в вершины. Если стороны разной длины, длинная сторона может перейти только в сторону такой же длины. А движение, оставившее на месте три точки, не лежащие на одной прямой, — тождественное.

Симметрия в орнаменте

Орнамент — узор, построенный на повторении элементов. Бордюр — узор на длинной ленте; если считать ленту бесконечной, он совмещается с собой параллельным переносом. Строят его просто: рисуют элемент и переносят его на один и тот же вектор влево и вправо. Ещё в бордюрах встречаются осевая и центральная симметрии.

Розетка — узор внутри круга или правильного многоугольника, у неё поворотная симметрия. Круг делят на равные секторы, в одном рисуют элемент и поворачивают его вокруг центра на соседний сектор, потом ещё раз и так далее.

Паркет (замощение, мозаика) — многоугольники, покрывающие всю плоскость без щелей и наложений. В паркетах бывают все виды симметрий.

Как решать задачи

Найдите «особые» прямые и точки: серединные перпендикуляры к сторонам, биссектрисы, центр.
Проверьте каждую кандидатуру: переходит ли каждая вершина в вершину, а каждая сторона — в сторону.
Посчитайте повороты вокруг центра: если наименьший угол $\alpha$ , подходят углы $\alpha, 2\alpha, \ldots$ до $360^\circ$ (не включая).
Чтобы доказать, что других симметрий нет, переберите, куда может перейти одна вершина и соседняя с ней.

Разобранные примеры

База

Симметрии буквы Н

Условие

Буква «Н» нарисована двумя равными вертикальными отрезками и горизонтальной перекладиной, соединяющей их середины. Найдите все симметрии этой фигуры.

Дано

фигура «Н»

Найти

все её симметрии

Решение

Серединный перпендикуляр к перекладине — вертикальная ось: левая палка переходит в правую.
Прямая, содержащая перекладину, — горизонтальная ось: верхние половинки палок переходят в нижние.
Середина перекладины — центр симметрии (поворот на $180^\circ$ ).

Поворот на $90^\circ$ не подходит: вертикальные палки стали бы горизонтальными. Других симметрий нет.

Ответ: 3 симметрии — две осевые и центральная

Средний

Два равных круга

Условие

Два равных круга с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ пересекаются. Найдите все симметрии фигуры, составленной из них.

Дано

два равных круга
$O_1 \ne O_2$

Найти

симметрии фигуры

Решение

Любая симметрия переводит круг в равный ему круг фигуры, значит, центры переходят в центры.

Если $O_1 \to O_1$ и $O_2 \to O_2$ , то прямая $$O_1O_2$$ переходит в себя. Подходит осевая симметрия относительно прямой $$O_1O_2$$ : каждый круг симметричен относительно прямой, проходящей через его центр.
Если центры меняются местами, подходят осевая симметрия относительно серединного перпендикуляра к $$O_1O_2$$ и центральная симметрия относительно середины $$O_1O_2$$ .

Ответ: 3 симметрии — оси O₁O₂ и серединный перпендикуляр к O₁O₂, центр — середина O₁O₂

Сложный

Повороты на 40°

Условие

Фигура совмещается сама с собой при повороте на $40^\circ$ вокруг точки $$O$$ . Какие повороты вокруг $$O$$ наверняка являются её симметриями? Обязательно ли у неё есть центр симметрии?

Дано

поворот на $40^\circ$ вокруг $$O$$ — симметрия фигуры

Найти

другие повороты; выяснить
обязательна ли центральная симметрия

Решение

Два поворота на $40^\circ$ подряд — поворот на $80^\circ$ , три — на $120^\circ$ и так далее. Симметриями будут повороты на $40^\circ, 80^\circ, \ldots, 320^\circ$ — восемь поворотов ( $9 \cdot 40^\circ = 360^\circ$ — уже тождественное преобразование).

Угол $180^\circ$ не делится на $40^\circ$ , поэтому центральная симметрия не обязана быть. Пример — правильный девятиугольник: у него поворотная симметрия на $40^\circ$ , а центра симметрии нет.

Ответ: Повороты на 40°, 80°, …, 320° (8 поворотов); центр симметрии не обязателен

Типичные ошибки

Забывают про повороты

Почему неверно

Называют у квадрата только четыре оси и центр — пять симметрий. Но повороты на $90^\circ$ по часовой и против часовой стрелки тоже переводят квадрат в себя.

Как правильно

Перебирайте отдельно оси и повороты вокруг центра на все углы, кратные наименьшему. У квадрата их три (на $90^\circ$ в обе стороны и на $180^\circ$ ), всего $$4 + 3 = 7$$ .

Считают диагонали параллелограмма осями симметрии

Почему неверно

При отражении относительно диагонали $$AC$$ вершина $$B$$ переходит в точку, удалённую от $$A$$ на $$AB$$ . Вершина $$D$$ удалена от $$A$$ на $$AD$$ , и если $AB \ne AD$ , $$B$$ в $$D$$ не попадёт.

Как правильно

Диагонали — оси только у ромба (и квадрата). У параллелограмма общего вида одна симметрия — центральная.

Считают поворот на 180° дважды

Почему неверно

Поворот на $180^\circ$ по часовой стрелке и против часовой стрелки — одно и то же движение: каждая точка переходит в симметричную относительно центра.

Как правильно

Поворот на угол $\varphi$ в одну сторону — то же, что на $360^\circ - \varphi$ в другую. Повороты удобно считать в одну сторону: $\alpha, 2\alpha, \ldots$ до $360^\circ$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите все симметрии отрезка $$AB$$ .

Подсказка

Подумайте, какие прямые и точки делят отрезок на две одинаковые половинки.

Решение

Осевая симметрия относительно серединного перпендикуляра к $$AB$$ меняет местами $$A$$ и $$B$$ .
Осевая симметрия относительно прямой $$AB$$ оставляет каждую точку отрезка на месте, но это не тождественное преобразование плоскости — точки вне прямой переходят в другие.
Центральная симметрия относительно середины $$O$$ отрезка меняет местами $$A$$ и $$B$$ .

Других нет: движение, переводящее отрезок в себя, либо оставляет концы на месте (тогда это тождественное преобразование или симметрия относительно прямой $$AB$$ ), либо меняет их местами (тогда это одна из двух других симметрий).

Ответ

3 симметрии — две осевые (серединный перпендикуляр и сама прямая AB) и центральная относительно середины

База Задача 2

Сколько осей симметрии у правильного десятиугольника? Есть ли у него центр симметрии?

Подсказка

Число осей правильного многоугольника равно числу его вершин; центральная симметрия — поворот на 180°.

Решение

У правильного $$n$$ -угольника $$n$$ осей симметрии, здесь $$n = 10$$ : пять через пары противоположных вершин и пять через середины противоположных сторон.

Повороты вокруг центра на углы, кратные $360^\circ : 10 = 36^\circ$ , — симметрии. Угол $180^\circ = 5 \cdot 36^\circ$ среди них есть, поэтому центр симметрии есть.

Ответ

10 осей; центр симметрии есть

Средний Задача 3

Сколько всего симметрий у правильного восьмиугольника? Перечислите их.

Подсказка

Посчитайте отдельно осевые симметрии и повороты вокруг центра; тождественное преобразование не считается.

Решение

Осевых симметрий 8 (по числу вершин). Повороты вокруг центра на $45^\circ$ , $90^\circ$ , $135^\circ$ , $180^\circ$ , $225^\circ$ , $270^\circ$ , $315^\circ$ в одну сторону — 7 поворотных симметрий; поворот на $180^\circ$ — центральная симметрия.

Всего $8 + 7 = 15 = 2 \cdot 8 - 1$ .

Ответ

15 симметрий — 8 осевых и 7 поворотов на углы, кратные 45° (среди них центральная)

Средний Задача 4

Найдите все симметрии неразвёрнутого угла $$AOB$$ (фигура — два луча с общим началом).

Подсказка

Вершина угла должна остаться на месте — это единственная точка, из которой выходят оба луча.

Решение

Любое движение, переводящее угол в себя, оставляет на месте вершину $$O$$ и либо оставляет каждый луч на месте, либо меняет лучи местами.

Если лучи остаются на месте, то на месте остаются точка $$O$$ и по точке на каждом луче — три точки, не лежащие на одной прямой. Движение тождественное.

Если лучи меняются местами, это осевая симметрия относительно биссектрисы угла.

Ответ

Одна симметрия — осевая относительно биссектрисы угла

Сложный Задача 5

Розетка состоит из 12 одинаковых лепестков, равномерно расставленных вокруг центра (осевой симметрии у лепестка нет). На какой наименьший угол её надо повернуть, чтобы она совместилась с собой? Сколько у неё поворотных симметрий? Есть ли центральная?

Подсказка

Соседние лепестки отстоят друг от друга на 360° ÷ 12.

Решение

Поворот на $360^\circ : 12 = 30^\circ$ переводит каждый лепесток в соседний — это наименьший угол.

Подходят повороты на $30^\circ, 60^\circ, \ldots, 330^\circ$ в одну сторону — их $$12 - 1 = 11$$ . Поворот на $180^\circ = 6 \cdot 30^\circ$ среди них есть, значит, розетка обладает центральной симметрией.

Ответ

30°; 11 поворотных симметрий; центральная симметрия есть

Сложный Задача 6

Бесконечный бордюр совмещается с собой при параллельном переносе вдоль ленты на 3 см и не совмещается при меньших сдвигах. Будет ли симметрией бордюра перенос на 7,5 см? На 12 см?

Подсказка

Два переноса подряд на 3 см — это перенос на 6 см. Какие сдвиги возвращают узор на место?

Решение

Перенос на 3 см — симметрия, поэтому симметриями будут и переносы на $$6$$ , $$9$$ , $$12$$ см и так далее (несколько переносов подряд) — на любое кратное 3 см в обе стороны.

Перенос на $12 = 4 \cdot 3$ см — симметрия.

Перенос на 7,5 см — нет: тогда перенос на $$7{,}5 - 6 = 1{,}5$$ см (сначала на 7,5 см вперёд, потом на 6 см назад) тоже совмещал бы бордюр с собой, а это сдвиг меньше 3 см.

Ответ

На 7,5 см — нет, на 12 см — да

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги квадрат и положите его на лист, обведя контур. Попросите ребёнка найти все способы снять квадрат и положить обратно точно в контур (можно переворачивать). Каждый способ, кроме «положить как было», — симметрия. Пометьте один угол квадрата точкой, чтобы различать способы: их выйдет семь.

Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько симметрий у равностороннего треугольника? 2) Почему у параллелограмма нет осей симметрии? 3) Какой симметрией обладает бордюр, а какой — розетка?

На что обратить внимание. Тождественное преобразование симметрией не считается, а повороты по и против часовой стрелки — разные симметрии (кроме поворота на 180°). Переносная симметрия бывает только у бесконечных фигур.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 127	1271, 1272, 1273, 1274, 1275, 1276, 1277, 1278
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 128	1279, 1280