Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XIV, задание 1287

Условие (кратко)

Даны два произвольных луча h и h₁. Можно ли утверждать, что существует движение, при котором луч h отображается на луч h₁?

Решение

Дано: луч $$h$$ с началом $$O$$ , луч $$h_1$$ с началом $$O_1$$ . Доказать: существует движение, переводящее $$h$$ в $$h_1$$ .

Параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{OO_1}$ переводит точку $$O$$ в $$O_1$$ , а луч $$h$$ — в луч $$h'$$ с началом $$O_1$$ , сонаправленный с $$h$$ (если $$O_1 = O$$ , перенос — на нулевой вектор, $$h' = h$$ ).
Лучи $$h'$$ и $$h_1$$ выходят из одной точки $$O_1$$ . Пусть угол между ними равен $\alpha$ . Поворот вокруг $$O_1$$ на угол $\alpha$ в нужную сторону переводит луч $$h'$$ в луч $$h_1$$ (при $\alpha = 0^\circ$ поворот не нужен, при $\alpha = 180^\circ$ годится поворот в любую сторону — это центральная симметрия).
Перенос и поворот — движения: каждое сохраняет расстояния. Если выполнить их одно за другим, расстояния тоже сохранятся, значит, это преобразование — движение, и оно переводит $$h$$ в $$h_1$$ .

Ответ

Да, можно: например, параллельный перенос начала h в начало h₁, а затем поворот вокруг этой точки

Почему так

Перенос совмещает начала лучей, поворот вокруг общего начала совмещает их направления; оба преобразования сохраняют расстояния.

Подробнее — в теме «Поворот».

Задание 1287