Каким преобразованием является поворот вокруг точки O на 180^\circ?

Центральной симметрией относительно точки O

Осевой симметрией

Параллельным переносом

Тождественным преобразованием

Какие утверждения о повороте вокруг точки O на угол α, 0^\circ < α < 180^\circ, верны?

Точка O остаётся на месте

Поворот сохраняет расстояния между точками

Каждая точка M переходит в точку M₁ с OM₁ = OM

Неподвижных точек нет совсем

Как построить образ точки M при повороте вокруг O на 50^\circ против часовой стрелки?

Отложить от луча OM против часовой стрелки угол 50° и на новом луче отрезок OM₁ = OM

Отложить угол 50° от луча OM и на новом луче взять любую точку

Сдвинуть M на 50 мм вверх

Отложить угол 50° с вершиной в точке M

Поворот — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Понятие движения

Коротко о главном

Поворот вокруг точки $$O$$ на угол $\alpha$ переводит каждую точку $$M$$ в такую точку $$M_1$$ , что $$OM_1 = OM$$ и $\angle MOM_1 = \alpha$ ; все точки поворачиваются в одну сторону. Поворот — движение, центр $$O$$ — неподвижная точка.

OM_1 = OM, \qquad \angle MOM_1 = \alpha

Подробное объяснение

Стрелка часов, колесо обозрения, дверь на петлях — всё это повороты. Точки дальше от центра проходят больший путь, но каждая поворачивается на один и тот же угол и остаётся на своём расстоянии от центра.

Определение

Отметим точку $$O$$ — центр поворота — и выберем угол $\alpha$ — угол поворота. Поворотом плоскости вокруг точки $$O$$ на угол $\alpha$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $$M$$ переходит в такую точку $$M_1$$ , что $$OM = OM_1$$ и $\angle MOM_1 = \alpha$ . Все точки поворачиваются в одном направлении: либо по часовой стрелке, либо против. Поэтому в условии всегда указывают и угол, и направление.

Сам центр $$O$$ никуда не движется — это неподвижная точка. Других неподвижных точек у поворота на $\alpha$ , $0^\circ < \alpha \le 180^\circ$ , нет.

Центр O, точки M и N и их образы M₁ и N₁ при повороте на угол α против часовой стрелки. OM = OM₁, ON = ON₁, отрезок MN переходит в равный отрезок M₁N₁. — При повороте вокруг O на угол α каждая точка остаётся на прежнем расстоянии от центра и поворачивается на угол α в одну сторону.

Почему поворот — движение

Пусть точки $$M$$ и $$N$$ перешли в $$M_1$$ и $$N_1$$ . Сравним треугольники $$OMN$$ и $$OM_1N_1$$ : $$OM = OM_1$$ , $$ON = ON_1$$ , а углы $$MON$$ и $$M_1ON_1$$ равны: лучи $$OM$$ и $$ON$$ повернулись на один и тот же угол $\alpha$ в одну сторону, и угол между ними не изменился (например, если луч $$ON$$ лежит внутри угла $$MOM_1$$ , то каждый из углов $$MON$$ и $$M_1ON_1$$ равен $\alpha - \angle NOM_1$ ). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, $$M_1N_1 = MN$$ . (Если $$O$$ , $$M$$ , $$N$$ на одной прямой, то $$M_1$$ , $$N_1$$ лежат на повёрнутой прямой и расстояние тоже сохраняется.)

Раз поворот — движение, он переводит отрезок в равный отрезок, треугольник — в равный треугольник, окружность — в окружность того же радиуса с повёрнутым центром.

Поворот на 180°

При $\alpha = 180^\circ$ угол $$MOM_1$$ развёрнутый, $$OM = OM_1$$ — значит, $$O$$ — середина отрезка $$MM_1$$ . Это центральная симметрия относительно $$O$$ , и направление поворота здесь уже не важно.

Что происходит с прямыми

Прямая переходит в прямую. Если прямая проходит через центр, её образ тоже проходит через центр и повёрнут на угол $\alpha$ . В общем случае угол между прямой и её образом равен $\alpha$ или $180^\circ - \alpha$ (смотря что из них не больше $90^\circ$ ).

Поворот в координатах

Если центр — начало координат, удобно помнить: точка на расстоянии $$r$$ от $$O$$ , луч к которой образует с осью $$Ox$$ угол $\varphi$ , имеет координаты $(r\cos\varphi;\ r\sin\varphi)$ . Поворот против часовой стрелки на $\alpha$ просто увеличивает $\varphi$ на $\alpha$ . При повороте на $90^\circ$ против часовой стрелки точка $$(x; y)$$ переходит в $$(-y; x)$$ .

Как решать задачи

Образ точки: проведите луч $$OM$$ , отложите от него угол $\alpha$ в нужную сторону, на новом луче отложите $$OM_1 = OM$$ .
Многоугольник поворачивайте по вершинам, окружность — по центру (радиус тот же), прямую — по двум точкам или по основанию перпендикуляра из $$O$$ .
Для вычислений рассматривайте равнобедренный треугольник $$OMM_1$$ : боковые стороны $$OM$$ , угол при вершине $\alpha$ . При $\alpha = 60^\circ$ он равносторонний, при $90^\circ$ — прямоугольный.
Чтобы найти центр поворота по точке и образу, помните: центр равноудалён от них и лежит на серединном перпендикуляре к $$MM_1$$ .

Разобранные примеры

База

Расстояние между точкой и её образом

Условие

При повороте вокруг точки $$O$$ на $60^\circ$ по часовой стрелке точка $$A$$ перешла в $$A_1$$ , $$OA = 8$$ см. Найдите $$AA_1$$ и $\angle OAA_1$ .

Дано

$$OA = 8$$ см
$\angle AOA_1 = 60^\circ$

Найти

$$AA_1$$
$\angle OAA_1$

Решение

По определению поворота $$OA_1 = OA = 8$$ см. Треугольник $$OAA_1$$ равнобедренный, углы при основании равны $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ . Все углы по $60^\circ$ — треугольник равносторонний, $$AA_1 = 8$$ см.

Ответ: AA₁ = 8 см, ∠OAA₁ = 60°

Средний

Координаты после поворота на 90°

Условие

Точку $$B(4; 2)$$ повернули вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки. Найдите координаты образа $$B_1$$ .

Дано

$$B(4; 2)$$
центр $$O(0; 0)$$
$\alpha = 90^\circ$ против часовой стрелки

Найти

$$B_1$$

Решение

Опустим перпендикуляр $$BH$$ на ось $$Ox$$ : $$H(4; 0)$$ , $$OH = 4$$ , $$HB = 2$$ , $\angle OHB = 90^\circ$ .

Положительная полуось $$Ox$$ при повороте на $90^\circ$ против часовой стрелки переходит в положительную полуось $$Oy$$ , поэтому $H \to H_1(0; 4)$ .

Поворот — движение, треугольник $$OHB$$ переходит в равный треугольник $$OH_1B_1$$ : $\angle OH_1B_1 = 90^\circ$ , $$H_1B_1 = 2$$ . Луч $$HB$$ направлен вверх, после поворота против часовой стрелки на $90^\circ$ он направлен влево. Значит, $$B_1(-2; 4)$$ .

Проверка: $OB_1 = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = OB$ ; $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OB_1} = 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = 0$ , угол $90^\circ$ .

Ответ: B₁(−2; 4)

Сложный

Поворот квадрата помогает доказать перпендикулярность

Условие

В квадрате $$ABCD$$ на сторонах $$BC$$ и $$CD$$ взяли точки $$M$$ и $$N$$ так, что $$BM = CN$$ . Докажите, что $$AM = BN$$ и $AM \perp BN$ .

Решение

Дано: $$ABCD$$ — квадрат, $M \in BC$ , $N \in CD$ , $$BM = CN$$ . Доказать: $$AM = BN$$ , $AM \perp BN$ .

Пусть $$O$$ — центр квадрата. Повернём плоскость вокруг $$O$$ на $90^\circ$ в направлении обхода $A \to B \to C \to D$ . Тогда $A \to B$ , $B \to C$ , $C \to D$ (задача о квадрате: $$OA = OB = OC = OD$$ , углы между ними по $90^\circ$ ).

Сторона $$BC$$ переходит в сторону $$CD$$ , причём точка $$M$$ на расстоянии $$BM$$ от $$B$$ переходит в точку на расстоянии $$BM$$ от $$C$$ , то есть в $$N$$ (ведь $$CN = BM$$ ).

Итак, отрезок $$AM$$ переходит в отрезок $$BN$$ . Поворот — движение, поэтому $$AM = BN$$ . Угол между прямой и её образом равен углу поворота или дополняет его до $180^\circ$ ; здесь оба варианта дают $90^\circ$ . Значит, $AM \perp BN$ .

Ответ: Доказано: AM = BN и AM ⊥ BN — отрезок AM переходит в BN при повороте вокруг центра квадрата на 90°

Типичные ошибки

Путают направление поворота

Почему неверно

Поворот на $60^\circ$ по часовой стрелке и против неё дают разные точки $$M_1$$ , симметричные относительно прямой $$OM$$ . Если направление перепутать, весь чертёж получится зеркальным, а координаты — с неверными знаками.

Как правильно

Перед построением нарисуйте у центра маленькую дугу со стрелкой в нужную сторону. В координатах: против часовой стрелки угол с осью $$Ox$$ растёт, по часовой — уменьшается.

Откладывают угол не от центра или забывают про равенство расстояний

Почему неверно

Иногда угол $\alpha$ откладывают с вершиной в самой точке $$M$$ или в вершине фигуры, а не в центре $$O$$ . Бывает и так, что угол отложили верно, но точку $$M_1$$ взяли на луче «на глаз». В обоих случаях получается не поворот.

Как правильно

Вершина угла — всегда центр поворота: $\angle MOM_1 = \alpha$ . И обязательно циркулем с центром $$O$$ отложите $$OM_1 = OM$$ .

Считают, что угол между прямой и её образом всегда равен углу поворота

Почему неверно

Угол между прямыми не больше $90^\circ$ . При повороте на $150^\circ$ прямая и её образ образуют угол $30^\circ$ , а не $150^\circ$ .

Как правильно

Угол между прямой и её образом равен $\alpha$ или $180^\circ - \alpha$ — тот из них, который не больше $90^\circ$ . А вот лучи, выходящие из центра, поворачиваются ровно на $\alpha$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

При повороте вокруг точки $$O$$ на $60^\circ$ точка $$A$$ переходит в $$A_1$$ , $$OA = 7$$ см. Найдите $$AA_1$$ .

Подсказка

Посмотрите на треугольник $$OAA_1$$ : какие у него стороны и угол при вершине $$O$$ ?

Решение

$$OA_1 = OA = 7$$ см и $\angle AOA_1 = 60^\circ$ . Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине равносторонний, поэтому $$AA_1 = 7$$ см.

Ответ

7 см

База Задача 2

При повороте вокруг точки $$O$$ на $90^\circ$ точка $$A$$ переходит в $$A_1$$ , $$OA = 5$$ см. Найдите $$AA_1$$ .

Подсказка

Треугольник $$OAA_1$$ прямоугольный и равнобедренный.

Решение

$$OA_1 = OA = 5$$ см, $\angle AOA_1 = 90^\circ$ . По теореме Пифагора $AA_1 = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ см.

Ответ

5√2 см ≈ 7,07 см

Средний Задача 3

Точку $$A(6; 0)$$ повернули вокруг начала координат на $120^\circ$ против часовой стрелки. Найдите координаты образа $$A_1$$ .

Подсказка

Точка $$A_1$$ лежит на расстоянии 6 от начала, а луч $$OA_1$$ образует с осью $$Ox$$ угол $120^\circ$ . Её координаты — $(6\cos 120^\circ;\ 6\sin 120^\circ)$ .

Решение

$$OA_1 = OA = 6$$ , луч $$OA$$ — положительная полуось $$Ox$$ , поэтому луч $$OA_1$$ составляет с $$Ox$$ угол $120^\circ$ .

$x_1 = 6\cos 120^\circ = 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -3$ , $y_1 = 6\sin 120^\circ = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ .

Ответ

A₁(−3; 3√3)

Средний Задача 4

При повороте вокруг точки $$O$$ на $120^\circ$ точка $$A$$ переходит в $$A_1$$ , $$OA = 10$$ см. Найдите $$AA_1$$ .

Подсказка

Опустите из $$O$$ высоту треугольника $$OAA_1$$ — она же медиана и биссектриса.

Решение

Треугольник $$OAA_1$$ равнобедренный, $$OA = OA_1 = 10$$ см, $\angle AOA_1 = 120^\circ$ . Высота $$OH$$ делит его на два прямоугольных треугольника с углом $60^\circ$ при вершине $$O$$ .

$AH = OA \sin 60^\circ = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ , $AA_1 = 2AH = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3$ см.

Ответ

10√3 см ≈ 17,3 см

Сложный Задача 5

При повороте вокруг точки $$O$$ на угол $\alpha$ ( $0^\circ < \alpha \le 180^\circ$ ) прямая $$a$$ перешла в прямую $$a_1$$ , угол между ними $40^\circ$ . Каким мог быть угол поворота?

Подсказка

Угол между прямой и её образом равен углу поворота или дополняет его до $180^\circ$ .

Решение

Перпендикуляр $$OH$$ к прямой $$a$$ переходит в перпендикуляр $$OH_1$$ к прямой $$a_1$$ , причём $\angle HOH_1 = \alpha$ . Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны или в сумме дают $180^\circ$ . Поэтому угол между $$a$$ и $$a_1$$ равен $\alpha$ или $180^\circ - \alpha$ .

Значит, $\alpha = 40^\circ$ или $\alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ .

Ответ

40° или 140°

Сложный Задача 6

Точку $$M(3; 4)$$ повернули вокруг начала координат $$O$$ на $90^\circ$ по часовой стрелке. Найдите координаты образа $$M_1$$ .

Подсказка

Опустите перпендикуляр $$MH$$ на ось $$Ox$$ и поверните весь прямоугольный треугольник $$OHM$$ .

Решение

Пусть $$H(3; 0)$$ — проекция $$M$$ на ось $$Ox$$ . Треугольник $$OHM$$ прямоугольный, $$OH = 3$$ , $$HM = 4$$ .

При повороте на $90^\circ$ по часовой стрелке положительная полуось $$Ox$$ переходит в отрицательную полуось $$Oy$$ , поэтому $H \to H_1(0; -3)$ . Поворот — движение, треугольник $$OHM$$ переходит в равный треугольник $$OH_1M_1$$ с прямым углом $$H_1$$ : $H_1M_1 \perp Oy$ и $$H_1M_1 = 4$$ . Луч $$HM$$ направлен вверх; при повороте на $90^\circ$ по часовой стрелке направление «вверх» становится направлением «вправо», поэтому луч $$H_1M_1$$ направлен вправо.

$$M_1(4; -3)$$ . Проверка: $OM_1 = \sqrt{16 + 9} = 5 = OM$ , а $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OM_1} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 0$ , угол $90^\circ$ .

Ответ

M₁(4; −3)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Приколите кнопкой к листу картона бумажный треугольник — кнопка будет центром поворота. Обведите треугольник, поверните его вокруг кнопки на четверть оборота и обведите снова. Покажите: каждая вершина осталась на том же расстоянии от кнопки (проверьте линейкой), а углы между «старым» и «новым» положением вершины, измеренные при кнопке, одинаковые.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какая точка не двигается при повороте? 2) Что получится, если повернуть фигуру на $180^\circ$ ? 3) Почему окружность при повороте вокруг её центра переходит сама в себя?

На что обратить внимание. Ребёнок должен называть оба условия поворота — равенство расстояний до центра и равенство угла — и всегда указывать направление. Если при построении он «на глаз» ставит точку на луче, попросите проверить расстояние циркулем.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 126	1263, 1264, 1265, 1266, 1267, 1268, 1269, 1270