Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XIV, задание 1288

Условие (кратко)

Даны острый угол ABC и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах угла такие точки E и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.

Решение

Дано

острый угол $$ABC$$
точка $$D$$ внутри него

Найти

точки $E \in BA$
$F \in BC$
при которых периметр $\triangle DEF$ наименьший

Построение.

Построим точку $$D_1$$ , симметричную $$D$$ относительно прямой $$AB$$ , и точку $$D_2$$ , симметричную $$D$$ относительно прямой $$BC$$ .
Проведём отрезок $$D_1D_2$$ . Точки его пересечения со сторонами $$BA$$ и $$BC$$ — искомые $$E$$ и $$F$$ .

Почему отрезок пересекает стороны. При осевой симметрии $$BD_1 = BD = BD_2$$ , а $\angle D_1BA = \angle ABD$ , $\angle CBD_2 = \angle DBC$ , поэтому $\angle D_1BD_2 = 2\angle ABC < 180^\circ$ , так как угол острый. Значит, отрезок $$D_1D_2$$ лежит внутри угла $$D_1BD_2$$ и пересекает лучи $$BA$$ и $$BC$$ , которые лежат внутри этого угла.

Доказательство минимальности. Для любых точек $$X$$ на $$BA$$ и $$Y$$ на $$BC$$ осевая симметрия сохраняет расстояния: $$DX = D_1X$$ , $$DY = D_2Y$$ . Поэтому периметр

P_{DXY} = D_1X + XY + YD_2 \ge D_1D_2

— длина ломаной не меньше отрезка, соединяющего её концы. Для

\(X = E\)

,

\(Y = F\)

ломаная

\(D_1EFD_2\)

совпадает с отрезком

\(D_1D_2\)

, то есть периметр

\triangle DEF

равен

\(D_1D_2\)

— наименьшему возможному значению.

Ответ

E и F — точки пересечения сторон BA и BC с отрезком D₁D₂, где D₁ и D₂ симметричны D относительно прямых AB и BC

Почему так

Осевая симметрия превращает периметр в длину ломаной D₁EFD₂, а кратчайший путь между двумя точками — отрезок.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Задание 1288

Задача 1