При повороте вокруг точки на 90° отрезок AE перешёл в отрезок BD. Что верно?

Прямые AE и BD перпендикулярны

Прямые AE и BD параллельны

Отрезки AE и BD имеют общую середину

Точки A и B лежат по одну сторону от прямой p. Как найти на p точку M с наименьшей суммой AM + MB?

Отразить B относительно p и найти пересечение отрезка AB₁ с p

Взять середину проекций A и B на прямую p

Найти пересечение прямой AB с прямой p

Опустить перпендикуляр из середины AB на p

На сторонах треугольника вне его построены равносторонние треугольники с общей вершиной B. Какое движение обычно помогает решить задачу?

Поворот вокруг B на 60°

Параллельный перенос на сторону треугольника

Осевая симметрия относительно стороны

Центральная симметрия относительно B

В задаче о мосте через реку (мост перпендикулярен берегам) одну из деревень сдвигают. На какой вектор?

На вектор, перпендикулярный берегам, длиной в ширину реки

На вектор, соединяющий деревни

На вектор вдоль берега длиной в ширину реки

Сдвигать не нужно, достаточно отразить деревню

Применение движений к решению задач

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Если в задаче есть равные отрезки, равные треугольники или симметричные точки, ищите движение, которое переводит одну часть фигуры в другую. Поворот даёт равенство отрезков и угол между ними, осевая симметрия — кратчайший путь, параллельный перенос — «сдвигает» мешающую часть фигуры.

\text{поворот на } \varphi: \ AB \to A_1B_1 \ \Rightarrow \ AB = A_1B_1, \ \angle(AB, A_1B_1) = \varphi \text{ или } 180^\circ - \varphi

Подробное объяснение

Представьте, что вы идёте от дома к реке за водой, а потом к костру. Где подойти к воде, чтобы путь был самым коротким? Отвечать на такие вопросы, а ещё доказывать равенства отрезков и строить фигуры помогают движения: осевая и центральная симметрии, параллельный перенос, поворот.

Главная идея

Движение сохраняет расстояния. Поэтому если удалось найти движение, которое переводит отрезок $$AE$$ в отрезок $$BD$$ , то сразу $$AE = BD$$ . А для поворота известен ещё и угол: прямая и её образ при повороте на угол $\varphi$ образуют угол $\varphi$ или $180^\circ - \varphi$ . Например, при повороте на $90^\circ$ отрезок и его образ перпендикулярны, при повороте на $60^\circ$ или $120^\circ$ — образуют угол $60^\circ$ .

Поворот: квадраты и равносторонние треугольники

Если на сторонах фигуры построены квадраты, ищите поворот на $90^\circ$ вокруг их общей вершины; если равносторонние треугольники — поворот на $60^\circ$ . Чтобы доказать, что точка $$X$$ переходит в $$Y$$ , проверьте два условия: $$OX = OY$$ и $\angle XOY$ равен углу поворота (в нужную сторону).

Пример из учебника: на сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника построены квадраты $$ACDH$$ и $$BCEF$$ . Поворот вокруг $$C$$ на $90^\circ$ переводит $$A$$ в $$D$$ и $$E$$ в $$B$$ , поэтому $$AE = DB$$ и $AE \perp DB$ .

Осевая симметрия: кратчайший путь

Пусть точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от прямой $$p$$ . Отразим $$B$$ относительно $$p$$ , получим $$B_1$$ . Для любой точки $$X$$ прямой $$XB = XB_1$$ , поэтому

AX + XB = AX + XB_1 \ge AB_1.

Равенство — только когда $$X$$ лежит на отрезке $$AB_1$$ . Значит, искомая точка $$M$$ — пересечение $$AB_1$$ с прямой $$p$$ , и она единственная.

Прямая p, над ней точки A и B. Точка B1 симметрична B относительно p. Отрезок AB1 пересекает p в точке M; ломаная AMB выделена цветом. Для сравнения пунктиром показан путь через другую точку X прямой. — Путь AM + MB равен отрезку AB1, а путь через любую другую точку X длиннее — это ломаная AXB1.

Параллельный перенос

Перенос помогает, когда какой-то отрезок имеет фиксированную длину и направление (мост через реку) или когда нужно «совместить» две фигуры, стоящие на одной прямой. Например, два равнобедренных треугольника с основаниями на одной прямой: перенесите один так, чтобы середины оснований совпали, — тогда точки пересечения боковых сторон дают прямую, отрезки которой внутри треугольников равны.

Как решать задачи

Найдите в условии равные элементы: равные отрезки с общим концом, равные углы, симметричные точки.
Подберите движение: общая вершина равных отрезков — центр поворота; прямая, к которой «прижимается» путь, — ось симметрии; отрезок постоянной длины и направления — вектор переноса.
Проверьте, куда переходит каждая нужная точка, и обоснуйте это.
Сделайте вывод: равные отрезки, угол между ними, наименьшая длина или построение.

Разобранные примеры

База

Где подойти к реке

Условие

Берег реки — ось абсцисс. Дом в точке $$A(1; 2)$$ , костёр в точке $$B(7; 4)$$ . В какой точке $$M$$ берега набрать воды, чтобы путь $A \to M \to B$ был кратчайшим? Найдите длину пути.

Дано

$$A(1; 2)$$
$$B(7; 4)$$
прямая $$p$$ — ось абсцисс

Найти

$$M$$ и $$AM + MB$$

Решение

Отразим $$B$$ относительно оси абсцисс: $$B_1(7; -4)$$ . Искомая точка $$M$$ — пересечение отрезка $$AB_1$$ с осью.

От $$A$$ к $$B_1$$ координата $$x$$ растёт на 6, а $$y$$ убывает на 6: $$y$$ уменьшается на 1 при увеличении $$x$$ на 1. От $$y = 2$$ до $$y = 0$$ — на 2, значит, $$x = 1 + 2 = 3$$ , $$M(3; 0)$$ .

$AM + MB = AB_1 = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ .

Ответ: M(3; 0), путь 6√2 ≈ 8,49

Средний

Отрезки в квадрате

Условие

В квадрате $$ABCD$$ на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ отмечены точки $$K$$ и $$L$$ , причём $$AK = BL$$ . Докажите, что $$DK = AL$$ и $DK \perp AL$ .

Решение

Дано: квадрат $$ABCD$$ , $K \in AB$ , $L \in BC$ , $$AK = BL$$ . Доказать: $$DK = AL$$ , $DK \perp AL$ .

Пусть $$O$$ — центр квадрата. Поворот вокруг $$O$$ на $90^\circ$ , при котором $D \to A$ , переводит и $A \to B$ , $B \to C$ : квадрат переходит в себя.

Сторона $$AB$$ переходит в сторону $$BC$$ , а точка $$K$$ — в точку стороны $$BC$$ на расстоянии $$AK$$ от $$B$$ , то есть в $$L$$ .

Значит, отрезок $$DK$$ переходит в отрезок $$AL$$ : они равны, а угол между ними равен углу поворота, $90^\circ$ .

Ответ: DK = AL и DK ⊥ AL — доказано поворотом на 90° вокруг центра квадрата

Сложный

Мост через реку

Условие

Река — полоса между прямыми $$y = 0$$ и $$y = 2$$ . Деревня $$A(0; -3)$$ на одном берегу, деревня $$B(6; 5)$$ — на другом. Мост $$PQ$$ строят перпендикулярно берегам. Где его поставить, чтобы путь $A \to P \to Q \to B$ был кратчайшим?

Дано

берега $$y = 0$$ и $$y = 2$$
$$A(0; -3)$$
$$B(6; 5)$$
$PQ \perp$ берегам

Найти

$$P$$
$$Q$$ и длину пути

Решение

Длина моста всегда 2, поэтому минимизируем $$AP + QB$$ . Перенесём $$A$$ на вектор моста $\{0; 2\}$ : $$A_1(0; -1)$$ . Четырёхугольник $$APQA_1$$ — параллелограмм, $$AP = A_1Q$$ . Тогда $AP + QB = A_1Q + QB \ge A_1B$ , и минимум — когда $$Q$$ лежит на отрезке $$A_1B$$ .

Прямая $$A_1B$$ проходит через $$(0; -1)$$ и $$(6; 5)$$ : $$y = x - 1$$ . При $$y = 2$$ получаем $$x = 3$$ . Мост: $$P(3; 0)$$ , $$Q(3; 2)$$ .

Длина пути $A_1B + 2 = \sqrt{6^2 + 6^2} + 2 = 6\sqrt{2} + 2 \approx 10{,}49$ .

Ответ: P(3; 0), Q(3; 2); путь 6√2 + 2 ≈ 10,49

Типичные ошибки

Соединяют A с самой точкой B, а не с отражённой

Почему неверно

Если $$A$$ и $$B$$ по одну сторону от прямой, отрезок $$AB$$ прямую вообще не пересекает. А «подойти к прямой в точке, ближайшей к одной из точек» не даёт минимума суммы.

Как правильно

Отразите одну из точек относительно прямой и соедините с другой. Если точки уже по разные стороны, отражать не нужно: $$M$$ — пересечение отрезка $$AB$$ с прямой.

Принимают угол поворота за угол между прямыми

Почему неверно

При повороте на $120^\circ$ прямая и её образ образуют угол $60^\circ$ : угол между прямыми не бывает больше $90^\circ$ .

Как правильно

Угол между прямой и её образом равен $\varphi$ , если $\varphi \le 90^\circ$ , и $180^\circ - \varphi$ , если $\varphi > 90^\circ$ .

Не проверяют, куда переходит точка

Почему неверно

Пишут «при повороте $$A$$ переходит в $$D$$ », не объяснив почему. Для поворота мало равенства $$CA = CD$$ — нужен ещё угол $$ACD$$ , равный углу поворота, и нужное направление.

Как правильно

Для каждой точки укажите оба факта: равные расстояния до центра и угол между лучами. Направление поворота должно быть одним и тем же для всех точек.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Даны точки $$A(0; 1)$$ , $$B(4; 3)$$ и ось абсцисс. Найдите на оси абсцисс точку $$M$$ , для которой сумма $$AM + MB$$ наименьшая, и эту сумму.

Подсказка

Отразите точку B относительно оси абсцисс и соедините с A.

Решение

Точка, симметричная $$B$$ относительно оси абсцисс, — $$B_1(4; -3)$$ . Для любой точки $$X$$ оси $$XB = XB_1$$ , поэтому $AX + XB = AX + XB_1 \ge AB_1$ , и наименьшее значение достигается в точке пересечения отрезка $$AB_1$$ с осью.

Прямая $$AB_1$$ : при сдвиге по $$x$$ на 4 значение $$y$$ меняется от 1 до $$-3$$ , то есть убывает на 1 при сдвиге на 1. Значит, $$y = 0$$ при $$x = 1$$ : $$M(1; 0)$$ .

$AM + MB = AB_1 = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ .

Ответ

M(1; 0), AM + MB = 4√2 ≈ 5,66

База Задача 2

При повороте вокруг точки $$O$$ на $150^\circ$ прямая $$a$$ перешла в прямую $$a_1$$ . Найдите угол между прямыми $$a$$ и $$a_1$$ .

Подсказка

Угол между прямыми равен углу поворота или дополняет его до 180°; угол между прямыми не больше 90°.

Решение

Угол между прямой и её образом при повороте равен углу поворота $\varphi$ или $180^\circ - \varphi$ . Угол между прямыми не превышает $90^\circ$ , поэтому он равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

Ответ

30°

Средний Задача 3

На сторонах $$AB$$ , $$BC$$ , $$CA$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$K$$ , $$L$$ , $$M$$ так, что $$AK = BL = CM$$ . Докажите, что треугольник $$KLM$$ равносторонний.

Подсказка

Поверните треугольник вокруг его центра на 120°.

Решение

Пусть $$O$$ — центр треугольника $$ABC$$ . Поворот вокруг $$O$$ на $120^\circ$ (в нужную сторону) переводит $A \to B$ , $B \to C$ , $C \to A$ , то есть треугольник — в себя.

Сторона $$AB$$ переходит в $$BC$$ , а точка $$K$$ — в точку стороны $$BC$$ , удалённую от $$B$$ на $$AK$$ . Это точка $$L$$ , так как $$BL = AK$$ . Так же $L \to M$ и $M \to K$ .

Отрезок $$KL$$ переходит в $$LM$$ , а $$LM$$ — в $$MK$$ . Поворот сохраняет длины, поэтому $$KL = LM = MK$$ .

Ответ

Утверждение доказано — поворот вокруг центра на 120° переводит K в L, L в M, M в K

Средний Задача 4

Треугольники $$OAB$$ и $$OCD$$ равносторонние и обходятся от $$O$$ в одном направлении (оба против часовой стрелки). Докажите, что $$AC = BD$$ , и найдите угол между прямыми $$AC$$ и $$BD$$ .

Подсказка

Какой поворот переводит A в B и одновременно C в D?

Решение

Поворот вокруг $$O$$ на $60^\circ$ против часовой стрелки переводит $$A$$ в $$B$$ ( $$OA = OB$$ , $\angle AOB = 60^\circ$ ) и $$C$$ в $$D$$ ( $$OC = OD$$ , $\angle COD = 60^\circ$ ). Значит, отрезок $$AC$$ переходит в отрезок $$BD$$ , и $$AC = BD$$ .

Прямая $$AC$$ переходит в прямую $$BD$$ при повороте на $60^\circ$ , поэтому угол между ними $60^\circ$ .

Проверка на числах: $$O(0; 0)$$ , $$A(2; 0)$$ , $B(1; \sqrt{3})$ , $$C(0; 3)$$ , $D(-1{,}5\sqrt{3}; 1{,}5)$ . Тогда $\overrightarrow{AC}\{-2; 3\}$ , $\overrightarrow{BD}\{-1{,}5\sqrt{3} - 1; 1{,}5 - \sqrt{3}\}$ , $$AC^2 = BD^2 = 13$$ , $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 3\sqrt{3} + 2 + 4{,}5 - 3\sqrt{3} = 6{,}5$ , откуда $\cos\varphi = \dfrac{6{,}5}{13} = \dfrac{1}{2}$ , $\varphi = 60^\circ$ .

Ответ

AC = BD, угол между прямыми 60°

Сложный Задача 5

Река с параллельными прямыми берегами занимает полосу между прямыми $$y = 0$$ и $$y = 3$$ . Деревня $$A(1; -2)$$ на одном берегу, деревня $$B(7; 7)$$ — на другом. Где построить мост $$PQ$$ , перпендикулярный берегам ( $$P$$ на прямой $$y = 0$$ ), чтобы путь $$APQB$$ был кратчайшим? Найдите длину пути.

Подсказка

Перенесите точку A на вектор моста {0; 3}.

Решение

Мост $$PQ$$ всегда равен 3, поэтому минимизируем $$AP + QB$$ . Перенесём $$A$$ на вектор $\overrightarrow{PQ}\{0; 3\}$ : $$A_1(1; 1)$$ . Тогда $$APQA_1$$ — параллелограмм и $$AP = A_1Q$$ , так что $AP + QB = A_1Q + QB \ge A_1B$ .

Наименьшее значение — когда $$Q$$ лежит на отрезке $$A_1B$$ . Прямая $$A_1B$$ проходит через $$(1; 1)$$ и $$(7; 7)$$ , это $$y = x$$ ; при $$y = 3$$ получаем $$x = 3$$ . Мост: $$P(3; 0)$$ , $$Q(3; 3)$$ .

Длина пути: $A_1B + 3 = \sqrt{6^2 + 6^2} + 3 = 6\sqrt{2} + 3 \approx 11{,}49$ . Проверка: $AP = 2\sqrt{2}$ , $QB = 4\sqrt{2}$ , сумма с мостом $6\sqrt{2} + 3$ .

Ответ

Мост P(3; 0), Q(3; 3); длина пути 6√2 + 3 ≈ 11,49

Сложный Задача 6

Даны три параллельные прямые $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ . Постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на этих прямых (по одной на каждой).

Подсказка

Возьмите вершину A на прямой a и поверните прямую c вокруг A на 60°.

Решение

Анализ. Пусть $$ABC$$ — искомый треугольник, $A \in a$ , $B \in b$ , $C \in c$ . Поворот вокруг $$A$$ на $60^\circ$ переводит $$C$$ в $$B$$ . Значит, $$B$$ лежит на образе $$c'$$ прямой $$c$$ при этом повороте.

Построение.

Возьмём любую точку $$A$$ на прямой $$a$$ .
Повернём прямую $$c$$ вокруг $$A$$ на $60^\circ$ (повернув две её точки), получим прямую $$c'$$ .
Точка пересечения $$c'$$ и $$b$$ — вершина $$B$$ .
Повернём $$B$$ вокруг $$A$$ на $60^\circ$ в обратную сторону — получим $$C$$ на прямой $$c$$ .

Доказательство. $$AB = AC$$ и $\angle BAC = 60^\circ$ , значит, треугольник равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине — равносторонний.

Прямая $$c'$$ образует с $$c$$ (а значит, и с $$b$$ ) угол $60^\circ$ , поэтому всегда пересекает $$b$$ — решение существует при любом выборе $$A$$ .

Ответ

Строим образ прямой c при повороте вокруг точки A ∈ a на 60°; его пересечение с b — вершина B, третья вершина C получается обратным поворотом

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол линейку — это «берег», и две монеты по одну сторону — «дом» и «костёр». Поставьте у линейки зеркальце и покажите: путь до берега и к костру такой же длины, как путь до отражения костра. А по прямой до отражения — короче всего. Потом на клетчатой бумаге нарисуйте квадрат и поверните его на 90° вокруг центра (калька на кнопке) — видно, как одна сторона ложится на другую.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему $$XB = XB_1$$ , если $$B_1$$ симметрична $$B$$ относительно прямой? 2) Какой угол между прямой и её образом при повороте на $150^\circ$ ? 3) Какое движение подходит, если на сторонах треугольника построены квадраты?

На что обратить внимание. Главное — не готовые ответы, а привычка спрашивать: «Какое движение переводит эту часть фигуры в ту?» Ребёнок должен уметь объяснить, почему каждая точка переходит именно туда.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 129	1281, 1282, 1283, 1284, 1285