Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XIV, задание 1289

Задача 1

Условие (кратко)

Медианы AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. A₂, B₂, C₂ — середины отрезков AM, BM, CM. Докажите, что △A₁B₁C₁ = △A₂B₂C₂.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , медианы $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ пересекаются в точке $$M$$ ; $$A_2$$ , $$B_2$$ , $$C_2$$ — середины $$AM$$ , $$BM$$ , $$CM$$ . Доказать: $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle A_2B_2C_2$ .

Медианы точкой пересечения делятся в отношении $$2 : 1$$ , считая от вершины: $$AM = 2MA_1$$ .
$$A_2$$ — середина $$AM$$ , поэтому $MA_2 = \dfrac{AM}{2} = MA_1$ . Точки $$A_1$$ и $$A_2$$ лежат на прямой $$AA_1$$ по разные стороны от $$M$$ , значит, они симметричны относительно точки $$M$$ .
Так же $$B_1$$ и $$B_2$$ , $$C_1$$ и $$C_2$$ симметричны относительно $$M$$ .
Центральная симметрия относительно $$M$$ — движение; она переводит $$A_1, B_1, C_1$$ в $$A_2, B_2, C_2$$ , то есть треугольник $$A_1B_1C_1$$ — в треугольник $$A_2B_2C_2$$ . При движении треугольник отображается на равный ему треугольник, поэтому $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle A_2B_2C_2$ .

Ответ

Утверждение доказано — треугольники симметричны относительно точки M

Почему так

Из свойства медиан MA₁ = MA₂ и т. д., поэтому треугольники центрально-симметричны относительно M, а движение сохраняет равенство фигур.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).