Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XIV, задание 1290

Задача 1

Условие (кратко)

На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD построены квадраты (на рисунке 378 оба квадрата лежат по одну сторону — «выше» своих сторон). Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, равен и параллелен AD.

Решение

Дано: параллелограмм $$ABCD$$ , на $$AB$$ и $$DC$$ построены квадраты, расположенные по одну сторону от своих сторон (как на рисунке 378), $$O_1$$ и $$O_2$$ — их центры. Доказать: $$O_1O_2 = AD$$ и $O_1O_2 \parallel AD$ .

В параллелограмме $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ . Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{AD}$ : он переводит $$A$$ в $$D$$ , а $$B$$ — в $$C$$ , то есть отрезок $$AB$$ — в отрезок $$DC$$ .
Перенос — движение, сохраняющее направления: квадрат, построенный на $$AB$$ , переходит в квадрат со стороной $$DC$$ , лежащий по ту же сторону от неё. Такой квадрат один — это второй квадрат. Его центр (точка пересечения диагоналей) переходит в центр образа, то есть $$O_1$$ переходит в $$O_2$$ .
Значит, $\overrightarrow{O_1O_2} = \overrightarrow{AD}$ : отрезок $$O_1O_2$$ равен $$AD$$ и параллелен ему (или лежит с ним на одной прямой).

Ответ

Утверждение доказано — перенос на вектор AD переводит центр одного квадрата в центр другого, поэтому O₁O₂ = AD и O₁O₂ ∥ AD

Почему так

Перенос на вектор AD переводит отрезок AB в DC, а вместе с ним один квадрат в другой и центр в центр.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).