Задача 1
(Задание для работы в группе.) (Повышенной трудности.) Вне прямоугольника ABCD на стороне AB построен треугольник ABS; CC₁ ⊥ AS, DD₁ ⊥ BS, прямые CC₁ и DD₁ пересекаются в точке K (рис. 379). Используя параллельный перенос, докажите, что SK ⊥ AB.
Решение
Дано: прямоугольник \(ABCD\), треугольник \(ABS\) построен на стороне \(AB\); \(CC_1 \perp AS\), \(DD_1 \perp BS\), \(K\) — точка пересечения прямых \(CC_1\) и \(DD_1\). Доказать: \(SK \perp AB\).
-
Выполним параллельный перенос на вектор \(\overrightarrow{BC}\) (\(= \overrightarrow{AD}\)). Он переводит \(B\) в \(C\), \(A\) в \(D\), а \(S\) — в некоторую точку \(S'\); при этом \(SS' \parallel BC\).
-
Треугольник \(ABS\) переходит в треугольник \(DCS'\), а при переносе прямая переходит в параллельную ей: \(DS' \parallel AS\), \(CS' \parallel BS\).
-
\(CC_1 \perp AS\), значит, \(CC_1 \perp DS'\) — прямая \(CC_1\) содержит высоту треугольника \(DCS'\) из вершины \(C\). Аналогично \(DD_1 \perp BS\), значит, \(DD_1 \perp CS'\) — это высота из вершины \(D\).
-
Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Две из них пересекаются в \(K\), значит, через \(K\) проходит и третья — высота из \(S'\). Поэтому \(S'K \perp DC\), а так как \(DC \parallel AB\), то \(S'K \perp AB\) (если \(K = S'\), этот шаг не нужен).
-
С другой стороны, \(SS' \parallel BC\) и \(BC \perp AB\), то есть \(SS' \perp AB\). Через точку \(S'\) проходит только одна прямая, перпендикулярная \(AB\), поэтому точки \(S\), \(S'\), \(K\) лежат на одной прямой, и \(SK \perp AB\).
Ответ
Перенос на вектор BC превращает перпендикуляры CC₁ и DD₁ в две высоты треугольника, а три высоты пересекаются в одной точке.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».